23. Метод скорейшего спуска вычисляют по формуле


метод мин-ных поправок – 39%



бет3/9
Дата22.05.2020
өлшемі363.53 Kb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9

26.метод мин-ных поправок – 39%

Для разбора метода минимальных поправок рассмотрим неявный итерационный метод вида:



Запишем в виде:



Вектор k называется поправкой на (k+1)-й итерации. Она удовлетворяет тому же уравнению, что и погрешность zk=xkx неявного метода:



Будем предполагать, что B=BT>0. Методом минимальных поправок называется неявный итерационный метод, в котором параметр k+l выбирается из условия минимума ||k+1||B=(Bk+1,k+1)1/2 при заданном векторе k.Если b=e метод минимальных поправок совпадает с методом минимальных невязок.

для того, чтобы найти выражение итерационного параметра k+1, необходимо переписать в виде:

и вычислить



Отсюда делается вывод, что минимум этого выражения достигается при



Для того, чтобы реализовать метод минимальных поправок нужно на каждой итерации решить две системы уравнений Bk= rk и Bvk=Ak, откуда найдем вектор vk = B1 Аk .

Скорость сходимости метода можно определить границами спектра обобщенной задачи на собственные значения.

27. 72%

Число λ называется собственным числом матрицы A , если существует ненулевой вектор x ,который удовлетворяет уравнению

Ax= λ x.

Вектор x называется собственным вектором той же матрицы A , который соответствует собственному числу λ.

Если переписать вышеприведенное уравнение в виде (A − λ E)x = 0. ( однородная система уравнений)

Для того, чтобы получилось решение этой системы x ≠ 0 , необходимо чтобы определитель матрицы этой системы был равен нулю:

det(A − λ E) = 0.

Если в случае раскрытия этого уравнения получается характеристическое уравнение



λ nλ n−1+ p

λ n−2+ ... + p

λ + p

n

= 0,




1

2

 

n1

 

 

Есть два вида проблемы собственных значений: полная и частичная , когда необходимо найти все собственные значения и собственные векторы либо часть спектра,

Например:ρ(A)(спектральный радиус) =maxi|λi(A) | и mini|λi(A)|.

28. 59%

Допустим A — это действительная числовая квадратная матрица размера (n×n)

Ненулевой вектор  X=(x1,…,xn)T  размера (n×1)

, который удовлетворяет условию A⋅X=λ⋅X

Этот вектор называется собственным вектором матрицы A. Число λ в вышеприведенном равенстве является собственным значением.

Известно, что собственный вектор X принадлежит собственному значению λ

Равенство равносильно однородной относительно X

 системе:



(A−λE)⋅X=0(X≠0)

Система имеет ненулевое решение для вектора X

 при известном λ

при условии  |A−λE|=0.

Это равенство есть характеристическое уравнение:

|A−λE|=Pn(λ)=0

29. Метод вращений для нахождения собственных значений 70%

Дана симметрическая матрица A (точнее элементы aij), и необходимо вычислить диагональную матрицу Λ ( точнее элементы λij).

Норма наддиагональной части имеет вид:

∥A(i)∥off=√∑__1≤j уменьшается при каждом двустороннем вращении матрицы A^(i+1)=Ji^ T *A(i) *Ji.

Это пполучаетя обнулением элемента матрицы A(i) в матрице A(i+1).


При условии если обозначить s=sinθ и c=cosθ, то матрица A(i+1) состоит из следующих элементов, отличающихся от элементов A(i):

ajj^(i+1)=c^2a^(i)jj2s*ca^(i)jk+s^2*a^(i)kk a^(i+1)ml=a^(i)ml;


При условии если  a^(i)jj=a^(i)kk, то в этом случае выбирается θ=π4, а в обратном случае вводится t=sc=tg(θ) ;отсюда следует что t2−2tτ+1=0. Решение квадратного уравнения даёт t=sign(τ)|τ|+1+τ2√,c=11+t2√,s=tc.

Вычисление приходит к конечному итогу , когда выполняются критерии близости к диагональной матрице.



Ход самого алгоритма и сама его суть состоит в том, что для заданной симметрической матрице A=A(0) необходимо построить последовательность ортогонально подобных матриц A(1),A(2),…,A(m), которая сходится диагональной матрице. Для построения этой последовательности применяется специально подобранная матрица вращения Ji, такая что норма наддиагональной части  уменьшается при каждом двустороннем вращении матрицы A(i+1)=JiTA(i)Ji.

Отделение корней можно произвести графически с сопутствующим анализом на монотонность, смену знака, выпуклость функции. В частности, полезны следующие сведения из математического анализа:

1) Если f : [a,b] → R - непрерывная строго монотонная функция и
f(a)· f(b)<0, то на отрезке [a,b] существует единственный корень уравнения f(x)=0.

2) Признак строго монотонного убывания (возрастания) дифференцируемой функции y=f(x) на отрезке [a,b]: f '(x) < 0 (> 0) на [a,b].

3) Признак строгой выпуклости вверх (вниз) дважды дифференцируемой функции y=f(x) на отрезке [a,b]: f "(x) < 0 (> 0) на [a,b].



Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9


©netref.ru 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет