23. Метод скорейшего спуска вычисляют по формуле


Метод простых итераций 55%



бет5/9
Дата22.05.2020
өлшемі363.53 Kb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9

33.Метод простых итераций 55%

Для решения уравнений методом простых итераций пусть дана функция .
Необходимо найти корень этой функции: такой  при котором 
Нужно заменить исходное уравнение  на эквивалентное ,и по правилу  будем строить итерации.

Метод простой итерации - это одношаговый итерационный процесс. Для того, что бы начать данный процесс, необходимо знать начальное приближение  ,затем нужно выяснить условия сходимости метода.

Метод сходится, если при  ,а также  последовательность {} имеет предел.
Обозначим  окресность точки  радиуса 

Если  непрерывна с константой   , то есть выполняется

,

если также выполнено : ,



то это уравнение  имеет единственное решение и метод простой итерации сходится к решению при любом выборе начального приближения .

Тем самым получаем геометрическую интерпретацию.

34.метод Ньютона 59%

Метод Ньютона или касательных заключается в том, что если  — некоторое приближение к корню х уравнения , то следующее приближение определяется как корень касательной к функции , проведенной в точке .

Уравнение касательной к функции в точке имеет вид:

Если в уравнение касательной положить   и представить что y=0; то алгоритм метода Ньютона состоит в следующем:



Сходимость метода касательных квадратичная, порядок сходимости равен 2, и отсюда можно сделать вывод, что сходимость метода быстрая.

Геометрически итерационный процесс метода Ньютона означает замену на k-той

итерации графика функции y=f(x) на касательную к этой функции в точке (x(k) , f(x(k)) Уравнение касательной имеет вид


y=f '(x(k))(x-x(k))+f(x(k)

Если найти точку пересечения с осью OX этой касательной, то получится линенйное

уравнение вида: f '(x(k))(x-x(k))+ f(x(k))=0, а вместо нелинейного f(x)=0. Далее получим из этого:x = x(k) - f(x(k))/f '(x(k))≡ x(k+1)

35. 59%

В этом методе для вычисления производных на каждом шаге поиска используется численное дифференцирование по формуле:f‘ = Δf(x)/Δx ,исходя из этого рекурентная формула будет иметь вид:






Xn+1 = X n – f(Xn)/f ‘ (Xn) = Xn– f(Xn)ΔX/Δf(Xn) =

= Xn– f(Xn)ΔX/ f(Xn+ΔX) –f(Xn).



Метод секущих — один из численных методов решения уравнений.

Берут функцию  любую постоянную , знак которой совпадает со знаком производной в окрестности . Постоянная  не зависит также номера шага. Отсюда следует формула итераций :



Прямая проходящую через точку на графике с угловым коэффициентом

Отсюда уравнение этой прямой будет иметь вид

Далее, получаем следующую геометрическую интерпретацию последовательных приближений :



Метод Ньютона можно отнести к методам второго порядка , ибо для вычисления каждой итерации требуется знание второй производной функции f.


Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9


©netref.ru 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет