Айналу бетінің ауданы 1 Айналу бетінің ауданың анықтамасы



жүктеу 38.09 Kb.
Дата25.04.2016
өлшемі38.09 Kb.
Айналу бетінің ауданы
1 Айналу бетінің ауданың анықтамасы.

2 Декарттық координаталар жүйесінде берілген қисықтың 0x – өсінен айналуынан шыққан беттің ауданын есептеу.

3 Қисық параметрлік түрде және полярлық координаталар жүйесінде берілген жағдайларда беттің ауданын есептеу формулаларын келтіру.

4 Мысалдар келтіру.


Теріс емес f(x) функциясының кесіндісінде үзіліссіз туындысы бар дейді.

Егер бас нүктесі , ақырғы нүктесі болатын және

y= S(x) тендеуімен анықтамалатын АВ қисығын 0x өсі арқылы айналдырсақ, каңдай да болса бір бет пайда болады, міне сол бетті айналу беттің ауданың табуымыз керек. Ол үшін кесіндісін еркімізше

a=x01<…k-1n<…xn=b

теңсіздіктерін қанағаттандыратын нүктелердің қаңағаттандыратын нүктелердің жәрдемімен түріндегі элементар кесінділерге бөліктейміз арқылы бөлшектеуін ал арқылы max -ны

белгілейік.

Әрбір xk нүктесіне АВ қисығында жатқан Мкк,а (Хк) ) нүктесі сәйкес келді. Бұл нүктелерді тізбектей түзу кесінділерімен қоссақ, ұзыңдығы.

-ге тең Мк Мк+1 хордалары шығады да, олар АВ қисығына іштей сызылған сынақ сызықтың берілген бөлшектеуіне сәйкес келетіні өзінен - өзі түсінікті.

АВ қисығын 0х - өсінен айналдырғанда оған іштей сызылған сынық сызық та бірге айналады. Сынық сызылықтың айналуаынан шыққан дененің бетінің ауданы P() ол сынықтың бөліктерінің айналуынан пайда болған қиық конустардың бүйір беттерінің қосындысына тең, яғни



(1)

болады.


Анықтама. Егер сынық сызықты АВ қисығына іштей сызу тәсіліне байланыссыз

(2)

шегі бар болса, онда бұл шек АВ қисығын 0х өсінен айналдырғанда пайда болатын беттің ауданы деп аталады.

Енді (2) шекті табамыз.

Осы мақсатта (1)теңдікті былай жазып аламыз:



Мұндағы Мк Мк+1 доғасының ұзындығы, ал Ск= Мк Мк+1 y=f(x)функциясы кесіндісінде үзіліссіздігінен, біріншіден, ,

табылып,


Болатыны, екіншіден ,f (x)N қос теңсіздегін қонағаттандыретын К>0 саны табылатыны, сонымен бірге xk 0-да Lk0-ны айқын.

Олай болса ()да P() құрамындағы екінші қосылғыш


02
өйткені

lim = =L


мұндағы L АВ доғасының ұзындығы. Демек,

Сөйтіп, ізделіп отырған ауданды табудың мынадай формуласына келдік:


(3)



1-сурет
Егер түзуленетін АВ қисықғы паралметрлік түрде x=(t), y=(t) теңдеулерімен беріліп, (t) және кесіндісінде үзіліссіз туындылары бар болса, онда беттің ауданы (4)

Формуласы арқылы есептелетін , ал егер қисық полярлық координаталар жүйесінде 00 теңдеуімен беріліп, функциясы кесіндісінде үзіліссіз болған жағдайда (5)

Болатынын дәлелдеуге болады.

Мысалдар. 1) параболасын 0x өсінен айналдырғанда пайда болатын беттің ауданын табайық (2-сурет)

(3) формула бойынша



2-сурет

2) теңдеулері арқылы берлген астралданың 0х өсінен айналуынан шығатын беттің ауданын табайық (3-сурет)


3-сурет


(4) Формула бойынша

3) Радиусы R-ге тең сфера бетінің ауданын табайық. Сфера поярлық координаталар жүйесінде теңдеуімен берлілген шенбердіңлуынан шыққан деумізге болады. 0х өсі маңайында айналуынан шыққан деуімізге болады. Олай болса шенбер 0х өсіне қатысты симметриялы болғандықтан қажетті ауданыды табу үшін осы шеңберді бірінші ширек те орналасқан бөлігнің айналуынаң шығатын жарты сфера бетінің ауданын тапсақ жеткілікті Демек, (5) формуладан



Бақылау сұрақтары

1. Айналу беті деген не?

2. Айналу бетінің ауданының анықтамасын айты беріңдер.

3. Қисық декарттық координаталар жүйесінде берілген оны 0х өсіннен айналуынан шығатын беттің ауданы қандай формуламен есептеледі?

0х өсінен айналғанда не?

4. x2+y2=a2 шеңберінің бірінші ширекте орналасқан бөлігінің оны керіп тұрған хорданың маңында айналуынан шығатын беттің ауданын есептеңдер.



5. Қисық полярлық координаталар жүйесінде берлген жағдайда айналу беінің ауданын табу формуласын келтіріңдер.


©netref.ru 2016
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет