Ф со пгу 18. 2/06 Қазақстан Республикасының Ғылым және Білім министрлігі



жүктеу 315.14 Kb.
бет1/3
Дата25.04.2016
өлшемі315.14 Kb.
  1   2   3
: arm -> upload -> umk
umk -> Әдістемелік нұсқаудың титулдық парағы
umk -> Дәрістердің тірек конспектісі
umk -> Ф со пгу 18. 2/05 Қазақстан Республикасының білім және ғылым министрлігі
umk -> Пән бойынша оқыту бағдарламасының (Syllabus) титулдық парағы
umk -> БАҒдарламасы (Syllabus) pkya 2204 «Кәсіби қазақ тілі»
umk -> Бейнелеу өнерін оқыту әдістемесі» пәні бойынша 5В107000– «Бейнелеу өнері және сызу мамандығының студенттеріне арналған пәнді зерттеу әдістемесі арналған тапсырма
umk -> Лекционный комплекс
umk -> 1 Пәннің мақсаты мен міндеттері, және оқу үрдісінде алатын орны Пәннің мақсаты
umk -> ЖҰмыс бағдарламасы қазақ журналистикасының тарихы 5В050400 «Журналистика» мамандығының студенттеріне арналған Павлодар
umk -> Әдістемелік ұсыныстар мен нұсқаулардың; әдістемелік ұсыныстардың; әдістемелік нұсқаулардың титул парағы






Ф СО ПГУ 7.18.2/06


Қазақстан Республикасының Ғылым және Білім министрлігі
С.Торайғыров атындағы Павлодар мемлекеттік университеті
Информатика және ақпараттық жүйелер кафедрасы

050601 Математика мамандығына арналған

математикалық физика есептерін шешудің сандық әдістері пәні бойынша

зертханалық жұмыстарды орындауға арналған



ӘДІСТЕМЕЛІК НҰСҚАУ

Павлодар





Әдістемелік нұсқауларды

бекіту беті





Форма

Ф СО ПГУ 7.18.1/07






БЕКІТЕМІН

ФМжАТ факультет деканы

___________ Тлеукенов С.К.

____ ______ 2008 ж.


Құрастырушы: аға оқытушы Джарасова Г.С.

оқытушы Токжигитова Н.К.
Информатика және ақпараттық жүйелер кафедрасы

050601 Математика мамандығының студенттеріне арналған математикалық физика есептерін шешудің сандық әдістері пәнінен зертханалық жұмыстарды орындауға арналған

Әдістемелік нұсқаулар

Кафедра отырысында ұсынылған «__»___________2008ж. №_____ хаттама


Кафедра меңгерушісі _____________________________Ж.К.Нұрбекова

ФМжАТ факультеттің әдістемелік кеңесінде құпталған


«___»___________200__ж. №______ хаттама
ӘК төрайымы __________________ Даутова А.З.


  1. Пәннің мақсаттары мен міндеттері

Пәннің оқытылу мақсаты есептеуіш математиканың есептерін шешудің тиімді алгоритмдерін табуға арналған қажетті интуицияны қалыптастыру, сондай-ақ студенттерді есептерді сандық шешудің рационалды стратегиясы жүзеге асырылатын сандық алгоритмдердің құрылымдық принциптерімен таныстыру.

Пәнді оқу нәтижесіндер студенттер:

  • есептеуіш математиканың негізгі ұғымдары мен әдістерінің идеяларын білуі тиіс;

  • тәжірибешілік есептерді шеше білулері тиіс, ҚЭЕМ қарапайым математикалық моделдерде жүзеге асыру үшін есептеуіш математиканың кез келген әдістерін шебер қолдана алуға және сандық нәтижені талдай білулері тиіс («кері байланысты» жүзеге асыру)


Зертханалық жұмыс №1

Тақырыбы: Математикалық физиканың негізгі есептері

Мақсаты: Айырымдық сұлбамен, жылуөткізгіштік теңдеуімен таныстыру және оны шешу.

Берілген бастапқы және шекаралық шарттарда жылуөткізудің теңдеулерін шешуге арналған айырымдық сұлбасының түрлері:



-қарастырылып отырған үзіктің ұштарында температураның бөлінуі[0,1] кез келген сәтте бастапқы және шекаралық шарттар келісілуі тиіс, яғни . Тікбұрышты торды енгіземіз:

-қадамдар. -функцияның тор түйініндегі мәні. Осылайша,



Ішкі түйіндерде торлық функцияларды анықтау үшін алгебралық теңдеулер жүйесін аламыз. Шекаралық шарттардан



(4)

кезінде түйіндер жиынтығы қабат деп атаймыз. (2) –ден қабатында келесі мәнін сәйкес мәні арқылы сол қабатын табамыз. кезінде есепті бастау үшін бастапқы шартпен анықталатын бастапқы қабаттағы шешім қажет, оның түрлері:

(5)

бар. Шекаралық шарттарды тексеру әдісі арқылы шешіледі.

Анық сұлбаларға қарағанда әрбір айырымдық сұлба (3) әрбір жаңа қабатта үш нүктеде белгісіздік мәні болады, сондықтан осы мәндерді алдыңғы қабаттағы белгілі шешім арқылы табуға болмайды. Олар айқындалмаған сұлба деп аталады. Айырымдық сұлба (3) сызықтық үшнүктелі теңдеулерден тұрады, яғни әрбір теңдеу берілген қабаттың үш нүктесінде белгісіздік функциясы болады. Прогонка әдісі бойынша шешіледі.

Берілген бастапқы және шекаралық шарттарБерілген мысалда қосқабатты сұлбаны қарастырдық, яғни әрбір айырымдық теңдеуге қос қабаттан тұратын функцияның мәні кіреді, ол-шешімі табылған - астыңғы, және түйнектерінде шешімі ізделініп жатқан- жоғарғы.



Тапсырма:

1. Коши есебінің анықтамасын беру;

2. Шекаралық шартты тексеру әдісі арқылы жоғарыда берілген есепті шешу;

3. Қандай сұлба айқындалған сұлба деп аталады?

4. Қандай сұлба айқындалған емес деп аталады?
Зертханалық жұмыс №2

Тақырыбы: Айырымдылық операторларының қасиеттері.

Мақсаты: Айырымдық операторлардың қасиеттерінің теңдеуімен таныстыру және оны шешу.

Алғашқы және шекаралық шарттары берілген дифференциалдық есеп дербес туынды теңдеулермен операторлық түрде құрастырылып жазылады.



(6)

Операторлық теңдеу негізгі дербес туынды теңдеу және қосымша алғашқы және шекаралық шарттарынан тұратын теңдеуден құралады. теңдеудің алғашқы және шекаралық шарттарының оң жағын бейнелейді, есептеу облысынан да, шекарадан да тұрады. (6) дифференциалдық есепті айырымдылық есебімен алмастырамыз , мұндағы , мұндағы .



(7)

сеткалар байламдарында торлар функциясының мәнін ізделінетін функцияның мәндерін жуықтап сол байламдағы қателіктермен алмастырады.

. (8)

енгіземіз.

Егер (9) байламдар торлары қоюланса, яғни бұл қателіктер мәндері нөлге ұмтылады,олай болса айырымдылық схема (7) қосылатын деп аталады.

Егер мұндағы , онда айырымдылық схемасы k-шы дәлдік ретті немесе жылдамдығымен қосылады деп те айтады. Тордағы қателікті есептеу үшін (7) теңдеуін жазайық. (7)-ге қойып, (10) аламыз.

Айырымдылық схеманың өлшемі байланыспау деп аталады (аппроксимация қателігі) .Өлшемдік сипаттамасын енгізейік.



(11)

болғанда аппроксимация һ-пен салыстырғанда k-ші ретті болады. (7) айырымдылық схема (6) негізгі дифференциалдық есепті аппроксимациялайды ,егер

(12)

яғни, торды ұсақтаса онда байланыспау нөлге ұмтылады.


Тапсырма:

1. Айырымдылық операторларды қасиеттерін атаңыз;

2. Шекаралық шартты тексеру әдісі арқылы жоғарыда берілген есепті шешу;

3. Айырымдылық сұлбаның байланыстарын табу.


Зертханалық жұмыс №3

Тақырыбы: Нормаланған кеңістікті аппроксимациялау.

Мақсаты: Нормаланған кеңістікті аппроксимациялау арқылы теңдеуге арналған аралас есептің шешуінің блок-сұлбасын жасау.

Абсолютті (сөзсіз) аппроксимация кез-келген заң бойынша ешбір шартсыз байланыспаудың болғанда нөлге ұмтылатын аппроксимация түрін айтады.Шартты аппроксимацияда кеңістік және уақыт бойынша қадамдар өлшемдеріне кейбір шарттар қойылады. (7) айырымдылық схемасы орнықтылықтанған деп аталады,егер оның шешімі кіретін мәліметтермен үзіліссіз байланыста болса, яғни кіретін мәліметтер шамалы аз өзгерсе соған сай шешімнің мәндері де аздап өзгереді. Орнықтылық айырымдылық схемасының түрлі қателіктерге сезімталдығын сипаттайды.

Теорема: Егер (6) негізгі дифференциалдық есептің шешімі бар болса, ал (7) айырымдылық схемасы берілген (6) шешімді орнықтылайды және аппроксициялайды, сонда айырымдылық шешімі дәлдікке қосылады.

[1] - [5], кіріспе, 5 - тарау

Шекаралық шарттың бірінші ретті аппроксимациясы жоғарыда көрсетілгендей қасиетке ие болады. Т.с.с. ішкі байланысуының аппроксимациясы шекаралық байланысуы тәртібі аппроксимациясы орындалады. Аппроксимациялық ретінің сетканы түгел байламын глобальді аппроксимациялық реті деп аламыз.

Аппроксимация ретті жоғарлауының шекаралық шартының белгілі бір әдісі екінші ретін дифференциалдық есеп болып табылады:



Егерде, белгілі сұлбаның алгоритімі есептің шешілуі жаңа уақыттың қабаты мен аппроксимациялық шекараның шартын қабылдамайды, бірақ принципиалдығы өзгермейді. САТЖ өзінің үш-диагональдығын жоғалтады егерде, белгісіз сұлба қолданылғанда(бірінші және екінші теңдікте үшеуі белгісіз болады). Үшінші теңдікті оңай алып тастау жолын қарастырамыз, яғни екінші және үшінші теңдіктерді комбинацияның сызықтық жолымен алуға болады. Бұл жағдайда диагональды матрицаның бұзылуы, сонымен қатар прагон әдісі де бұзылады.

Оны оңай жолымен қарастырайық, аппроксимациялық ретті шартын күшейтпелігінсіз аппроксимациялық қтынастың бйланыс саны. Иллюстрациялық подходты мынандай түрде көреміз.

Мысалы 2.1.

Үшінші алғашқы-шектік есептің параболалық теңдеуінде, құрамында конвекцияланған мүшелерінің құрамдамасы,(туындының пропорционалы ), іздеу функциясының шығу көздері, мүшелерін құрайды

(2.21)-(2.24) Шешімі.

Шекті-әртүрлігі сұлбасының теңдеуі, сетканың Шекті-әртүрлігінің белгісіз ішкі байланыста көреміз, (2.21):



(2.25)

Егер, бірінші тәртіптегі шекарлық шарттың туындысын (2.22) және (2.23) аппроксимациялық сұлба бойынша аламыз (оң және сол Шекті-әртүрлігін қою-арқылы)

Онда шекаралық шарттар бірінші тәртіп бойынша аппроксимацияланады және глобальді тәртібі, бірінші тәртіпке тең , барлық қалған байланыс аппроксимациялық тәртіп кеңістігі орын ауысуы екіге бөлінеді. Аппроксимациялық тәртіпті сақтауға және екіге теңдігін біз шекаралық байланысуда дәл есептелінген теңдеуіне қоямыз сонда аумақ нүктесінде x=0 болғанда Тейлор қатарына ауыспалы x үшінші туындыға шейін ,- аналогтық қатарының нүктелік ауданының x=l деп аламыз(функциясының жазылуы бойынша u(x,t) шекаралық байлаудан бірінші туынды алынады және екіншіні х бойымен аламыз):

(2.26)

. (2.27)

Әрі қарай екінші мәннің туындысын шекаралық байлануына қоямыз, дифференциалдық теңдеуін аламыз (2.21):



Алынған өрнектен шығады (2.26), бірінші туындының мәнін шекаралық ретімен, аламыз(2.27)

Қою аркылы яғни (2.22), және (2.23) аппроксимациялық кезінде сәйкес қосылуы алынғанда шекаралык байлануын қараймыз(осыдан алгебралык теңдеудің шекаралық байланысуын аламыз, осының әрқайсысындаекеуі белгісіз болады:

(2.28)

(2.29)

Осылайша,(2.28) - Шекті-әртүрлігінің аппроксимациясының шекаралық теңдеуінің үш түрі белгілі (2.22) сол жақ шекарада x=0 болады, яағни (2.29) - Шекті-әртүрлігінің аппроксимациялық үшінші-текті теңдеудің он жақ шекарада (2.23) x=l аппроксимацияның сол жақ ретін сақтайды, осылайша Шекті-әртүрлігінің аппроксимациясы (2.25) және дифференциалдық теңдеуінде де (2.21).

Жаза отырып шекаралық шекті-әртүрлігінің теңдеуінде (2.28), (2.29) сетканың функцияснда екінші мәнді ұстанады, алгебралық теңдеу (2.25),

(2.30)
Тапсырма:

1. Нормаланған кеңістікті аппроксимациялау арқылы теңдеуге арналған аралас есептің шешуінің блок-сұлбасын жасау.

2. Нормаланған кеңістікті аппроксимациялау арқылы бірөлшемді теңдеуге арналған аралас есептің шешуінің блок-сұлбасын жасау.

3. Нормаланған кеңістікті аппроксимациялау бойынша жылуөткізгішті бірөлшемді теңдеуге арналған аралас есептің шешуінің блок-сұлбасын жасау.


Зертханалық жұмыс №4

Тақырыбы: Параболалық типті теңдеулерге арналған айырымдық сұлбалар

Мақсаты: Параболалық теңдеу үшін үшінші бастапқы-шеттік есепті қарастыру, және оның шешімінің блок сұлбасын құрастыру.
Мысал 2.1.

Конвективті мүшелері ( туындысына пропорционалды), сондай-ақ ізделетін функциясы бар көздік мүшелер де құрамында бар параболалық теңдеу үшін үшінші бастапқы-шеткі есепті шешу.



(2.1)-(2.4)

Шешім.


Ақырлы-айырымды тордың ішкі түйіндерінде (2.1) теңдеуі үшін айқын емес ақырла-айырымдық сұлбаның түрі:
(2.5)
Егер (2.2) және (2.3) шекаралық шарттарындағы бірінші қатардың туындысын келесі сызба бойынша жуықтатса (оң және сол айырымдарының ұштарының қатысының көмегімен),


онда шекаралық шарттар бірінші тәртіп бойынша жуықтасады, және жаһанды тәртіп басқа қалған түйіндерде жуықтасу тәртібі ауыспалы кеңістік бойынша екіге тең екендігіне қарамастан, бірінші тәртіпке тең болады. Екіге тең жуықтасу тәртібін сақтау үшін шекаралық түйіндерде x=0 нүктесінің маңайында Тейлор қатарына х үшінші туындысына дейін ауыспалы бойынша мәнінің нақты шешімін, x=l нүктесінің маңайына ұқсас қатарына қоямыз, шығатыны ( шамамен u(x,t) функциясы шекаралық түйіндерде уақыт бойынша бірінші туындылары болады және екіншілері –х бойынша):


(2.6)

. (2.7)
Ары қарай, (2.21) дифферернциалды теңдеуден алынған шекаралық түйінділердегі екінші туындының мәнін қоямыз:


және алынған (2.6), (2.7) өрнектерден бірінші туындының мәнін табамыз

шекаралық түйіндерде тәртіппен


(2.2) , ал (2.3) қоя отырып, тиісті шекаралық түйіндерде аланған арақатынастарды жуықтастырып,


әрқайсысында екі белгісіздері бар шекаралық түйіндерге арналған алгебралық теңдеулерді аламыз:
(2.8)

(2.9)

Осылайша, (2.8) - x=0 сол жақ шекарасындағы (2.2) 3-нші тегінің шекаралық шарттың ақырлы-айырымдық жуықтату, ал (2.9) - x=l оң жақ шекарасындағы (2.3) 3-нші тегінің шекаралық шарттың ақырлы-айырымдық жуықтату, бұлар (2.1) дифференциалды теңдеудің (2.5) ақырлы-айырымдық жуықтатуындағы тәртіпті сақтайды.

Әрқайсысында торлық функцияның екі мәні бар (2.8), (2.9) шекаралық ақырлы-айырымдық теңдеулерге жатқыза отырып, төмендегідей түрде жазылған (2.25) алгебралық функциялар

(2.10)

Шекаралық шарттарды тексеру әдісі бойынша шешілетін үшдиагоналды САТЖ-ін аламыз


(2.11)

(j = N, N-1, ... , 0.) (2.12)


Кеңістіктік айнымал бойынша туындылары бар шеттік шарттарды жуықтатудың айтылған әдісі, жуықтату тәртібін жоғарылатып қоймай, ақырлы-айырымдық сызбасының консервативтілігін сақтайды, яғни ақырлы-айырымдық жуықтатуда сақтау заңдары сақталады, олардың негізінде (2.1)-(2.4) есептерінің дифференциалды арақатынасы шығарылған.

Ұқсас амалды кез келген типтің дифференциалды теңдеулер үшін шеткі есептерде жүзеге асыруға болады.

Лаппас теңдеуі үшін Дирихле есебін шығару

Есеп: Лаппас теңдеуін тікбұрышты аймақтың ішінде қанағаттандыратын, және аймағының шекарасында беірілген мәнін қабылдайтын, яғни , u(x,y) үздіксіз функциясын табу, мұнда - берілген функциялар.

u(x,y) -  аймақтың шекарасындағы үздіксіз функция болсын, яғни

һ қадамдарын таңдап, 1-ден х, у сәйкес, , где торын құрастырамыз.



Белгілеу: . және дербес туындыны 2-нші реттің

орталық-айырымдық туындылармен тордың әрбір ішкі түйінінде жуықтатамыз

Лаппас теңдеуін ақырлы-айырымдық теңдеумен ауыстырамыз

.
(14)

Тікбұрышты аймақта Лаппас теңдеуі үшін Дирихле есебінің сандық шешімі тордың ішкі түйіндерінде ізделетін функцияның жуықтатылған мәнін табудан тұрады. анықтау үшін (14) сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу керек. Жүйені құрамында түрдің итерациясының тізбегінен тұратын, тізбегі (14) нақты шешімге тырысатын Гаусс-Зейдел итерациялық әдісімен шешеміз. Итерационды үрдісті аяқтаудың шарты: .

Осылайша, тор әдісі бойынша алынған жуықтатылған шешімнің шекаралық қабаты екі шекаралық қабаттан жасалынады: айырымдық теңдеулермен дифференциалды теңдеулерді жуықтату шекаралық қабаты және айырымдық теңдеулер жүйесін (14) жуық шешу арқылы туындайтын шекаралық қабат. Сызбаның орнықтылығы, бастапқы берілгендеріндеігі кішкентай өзгерістер есептің айырымдық шешімінің кішкентай өзгерісіне әкелетінін білдіреді. Сызбаның жинақтылығы, тордың қадамының нөлге тырысуы кезінде есептің айырымын шешу алғашқы есепиі шешуге тырысатынын білдіреді. Осылайша, жеткілікті кішкене қадамды таңдап, алғашқы есепті дәл шешуге болады.



  1   2   3


©netref.ru 2017
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет