Г. Ж. Берденова



Pdf көрінісі
бет1/14
Дата07.11.2019
өлшемі5.01 Kb.
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14

 
 
 
 
Г.Ж.Берденова,
 
С.Муталип
 
 
Аналитикалық  
геомерия 
 
 
Қостанай, 2017 


 
Қазақстан Республикасының білім және ғылым министрлігі 
А.Байтұрсынов  атындағы Қостанай мемлекеттік университеті 
Математика кафедрасы 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Г.Ж.Берденова, С.Муталип 
 
Аналитикалық геометрия 
 
Оқу-әдістемелік құрал 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Қостанай, 2017 


 
КБЖ 22.151.54 
ӘОЖ 514.122 ( 075.8) 
Б 45
 
Авторлар: 
Берденова Гульнар Жалгасовна, математика кафедрасының аға оқытушысы 
Мутили Самат, математика кафедрасының аға оқытушысы 
 
 
Рецензенттер: 
Бедыч  Татьяна  Витальена    –  кандидат  технических  наук,  зав.  кафедрой  
энергетики и машиностроения, КИнЭУ имени М.Дулатова 
Ысмагул  Роза  Сапабековна  –  А.  Байтурсынов  атындағы  ҚМУ  математика 
кафедрасының доценті, физико-математикалық ғылымдарының кандидаті 
Утемисова  Анар  Алтаевна  –  А.  Байтурсынов  атындағы  ҚМУ  математика 
кафедрасының жетекшісі, педагогикалық ғылымдарының кандидаті 
 
 
Берденова Г

Б  45  Аналитическалық  геомерия:  Оқу-әдістемелік  құрал.–  Костанай:  А. 
Байтурсынова атындағы ҚМУ, 2017. – 
224 б

 
«Аналитикалық 
геометрия» 
оқу-әдістемелік 
құралда 
теориялық 
материялдарға  шолу  жасалған,  оқу  программасына  сай  мысалдар  келтіріліп 
оның  шығару  жолдары  көрсетілген,  сонымен  қатар  өз  еркімен  шығаруға 
есептер берілген және өзінің білімін тексеру тест жинағы кіргізілген. 
                                                                                                  
 
 
КБЖ 22.151.54 
ӘОЖ 514.122 ( 075.8) 
Б 45 
 
А.  Байтұрсынов  атындағы  Қостанай  мемлекеттік  университетінің  оқу-
әдістемелік кеңесінде жариялау үшін мақұлданған және ұсынылған 
       .                             2017г., протокол №         .  
       
 
 ISBN 978-601-7933-22-7          
                                                     
 
 © А. Байтурсынов атындағы  
Қостанай мемлекеттік  
                                                                                             университеті.  
                                                                           © Берденова Г., 2017 
 


 
Мазмұны 
 
Кіріспе …………………………………………………………………………..  
Тақырып 1.  Координаттар жүйелері. Аналитикалық  
геометрияның қарапайым есептері.............…………………....………..... 
 

1.1 Негізгі теориялық мәлімет……………………………………. 

1.2 Өзін-өзі тексеруге арналған сұрақтар …………………………………  19 
1.1 Жаттығулар ……………………………………………..……………. 
20 
Тақырып 2 Векторы ……… …………………………………………….… 
20 
2.1 Негізгі теориялық мәлімет……………………………………. 
20 
2.2 Өзін-өзі тексеруге арналған сұрақтар …………………………………… 
28 
2.4 Жаттығулар ………………………………………………………………. 
29 
Тақырып 3 Жазықтықтағы сызықтың теңдеуі...........………………… 
30 
3.1 Негізгі теориялық мәлімет……………………………………. 
30 
3.2 Өзін-өзі тексеруге арналған сұрақтар …………………………………… 
35 
3.4 Жаттығулар ………………………………………………………………. 
35 
Тақырып 4 Жазықтықтың теңдеуі………………………… 
36 
4.1 Негізгі теориялық мәлімет……………………………………. 
36 
4.2 Өзін-өзі тексеруге арналған сұрақтар …………………………………… 
39 
4.4 Жаттығулар ………………………………………………………………. 
40 
Тақырып 5 Кеңістіктегі түзу сызық………….…………………… 
42 
5.1 Негізгі теориялық мәлімет……………………………………. 
42 
5.2 Өзін-өзі тексеруге арналған сұрақтар …………………………………… 
45 
5.4 Жаттығулар ………………………………………………………………. 
45 
Тақырып 6 Екінші  ретті қисықтар…………………………………… 
48 
6.1 Негізгі теориялық мәлімет……………………………………. 
48 
6.2 Өзін-өзі тексеруге арналған сұрақтар …………………………………… 
55 
6.4 Жаттығулар ………………………………………………………………. 
55 
Тақырып 7 Екінші ретті беттер….…………………………… 
55 
7.1 Негізгі теориялық мәлімет……………………………………. 
55 
7.2 Өзін-өзі тексеруге арналған сұрақтар …………………………………… 
68 
7.4 Жаттығулар ………………………………………………………………. 
68 
Өзін-өзі тексеруге арналған тест…………………………………………. 
69 
Пайдаланған әдебиеттер тізімі …………………………………….. 
142 
 
 
 
 
 
 
 
 
Кіріспе 


 
 
Оқу-әдістемелік  кешенінде  оқу  программасына  сай,  «Аналитикалық 
геометрия»  пәні  бойынша  негізгі  теориялық  материялдарға  шолу  жасалған, 
мысалдар  келтіріліп  оның  шығару  жолдары  көрсетілген,  сонымен  қатар  өз 
еркімен  шығаруға  есептер  берілген.  5B060100-Математика  мамандығының 
студенттеріне арналған. 
 
 
 


 
1 тақырып 
 Координаттар жүйелері. Аналитикалық  
геометрияның қарапайым есептері 
 
Дәрстің мақсаты: 
1. Түзудегі, жазықтықтағы және кеңістіктегі декарттық координаталар 
түсінігін беру. 
2. Аналитикалық геометрияның қарапайым есептерімен таныстыру. 
3. Полярлық, цилиндрлік және сфералық координаталарды қарастыру.  
 
  Қарастыруға арналған  сұрақтар тізімі: 
1. Түзудегі декарттық координаталар. 
2. Жазықтықтағы декарттық координаталар. 
3. Кеңістіктегі декарттық координаталар. 
4. Аналитикалық геометрияның қарапайым есептері. 
5. Полярлық, цилиндрлік және сфералық координаталар. 
6. Екінші және үшінші ретті анықтауыштар. 
7. Декарттық тікбұрышты координаталардың түрлендірулері. 
 
1. Түзудегі декарттық координаталар 
 
Оң бағытыа таңдап алынған түзу ось деп аталады 
          
 
 
Координаталар  бас  нүктесі  және  бірлік  масштабы  таңдап  алынған  ось 
сандық ось деп аталады.  
Анықтама:  Өзінің ұзындығымен және таңбасымен сипатталатын кесінді 
бағытталған кесінді деп аталады.  
 
 
 
 
Осьтегі  әрбір  бағытталған  кесіндіге  оның  сандық  сипаттамасы  болып 
табылатын - кесіндінің шамасы сәйкестендіріледі.  
Анықтама: AB бағытталған кесіндінің шамасы деп, AB бағытталған кесіндінің 
бағыты осьтің оң бағытымен бірдей болған кездегі AB кесіндісінің ұзындығына 
тең оң сан аталады, ал бағытталған кесінднің бағыты осьтің бағытына қарама-
қарсы болса , кесіндінің шамасы теріс санға тең болады.   
АВ – кесіндінің шамасы 
АВ
- кесіндінің ұзындығы   
Егер бағытталған кесіндінің басы және ұшы беттессе, онда кесінді нөлдік 
деп аталады.   
0

АА

 
S
D
E
M
S
OM


 
Ескерту:     1) нөлдік кесінді бағытты анықтамайды
                    2) нөлдік кесіндінің шамасы нөлге тең.  
Сөйлем:  Берілген  осьтегі  екі  бағытталған  кесіндінің  тең  болуының 
қажетті және жеткілікті шарты осы кесінділердің шамаларының теңдігі болып 
табылады.  
АВ
және 
ВА
 - бір-біріне қарама-қарсы кесінділер. 
Осьтегі  A,  B  және  C  нүктелері  қалай  орналасса  да, 
BC
АВ,
және 
AC
 
кесінділерінің  шамалары  негізгі  AB+BC=AC    теңбе-теңдігі  арқылы 
байланысқан.  
 
 
 
 
 
 
Кез  келген  а  түзуі  берілсін.    а    түзуінде  анықталған  бағыт  және  О 
координаталар бас нүктесін таңдап аламыз. Бірлік масштабын көрсетеміз.   
 
 
 
 
 
 
Түзу бойындағы кез келген М нүктесін қарастырамыз.  
Анықтама:    Түзудегі  М  нүктесінің  x  декарттық  координатасы  деп,   
ОМ
 
бағытталған кесіндінің шамасы аталады 
x
ОМ
x

 деп белгіленеді.   x=OM
M(x)  символы- М нүктесінің x  коррдинатасы бар дегенді көрсетеді.  
)
(
1
1
x
M
 және 
)
(
2
2
x
M
 - а  түзуіндегі кез келген екі нүкте болсын.  
Теорема: 
)
(
1
1
x
M
  және 
)
(
2
2
x
M
  нүктелері  қандай  болса-да,  келесі  теңдік 
әрқашан орын алады: 
1
2
2
1
x
x
M
M



Осьтегі  кесіндінің  шамасын  табу  үшін,  оның  ұшының  координатасынан 
басының координатасын алу керек.  
1
2
2
1
x
x
M
M


-  кесіндінің ұзындығы.  
 
2. Жазықтықтағы декарттық координаталар 
 
Анықтама: Бір жазықтыққа тиісті және бір түзудің бойында жатпайтын 
O
2
1
E
E
 нүктелер үштігі аффиндік координаталар жүйесі деп аталады.   
Белгіленуі. 


2
1
,
,
E
E
O
R

.  О – координаталар бас нүктесі.  
 
 
 
 
A
B
C
A
B
C
О
1
а


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Жазықтықта  ортақ  бас  нүктесі  бар  және    бірдей  масштаб  бірліктері  арқылы 
анықталатын  өзара  перпендикуляр  екі  ось  жазықтықтағы  тік  бұрышты  
декарттық координаталар  жүйесін анықтайды. 
Осьтердің  қиылысу  нүктесі  –  координаталар  бас  нүктесі,  ал  осьтер-
координаталық осьтер деп аталады.  
 
x
O
 - абсцисса осі. 
y
O
 - ордината осі. 
M – жазықтықтағы кез келген нүкте. 
y
x
M
,
 - М нүктесінің сәйкес  
y
x
O
,
 
осьтеріне проекциялары.  
 
 
 
Анықтама: Жазықтықтағы М нүктесінің  декарттық координаталары деп 
сәйкес 
x
M
O
 және 
y
M
O
  бағытталған кесінділерінің шамалары аталады. 
y
OM
x
OM
y
x


,
 
М  нүктесінің  x  және  y  декарттық  координаталары  сәйкесінше  осы  нүктенің 
абсциссасы және ординатасы деп аталады және   М(x,y) деп белгіленеді. 
Координаталық осьтер жазықтықты төрт ширекке бөледі. (координаталық 
ширектер). 
 
    
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
O
1
l
2
l
1
E
2
E
y
x
M.
x
M
y
M
M
y
x
x
y
0

x
0

y
0

x
0

y
0

x
0

y
0

y
0

x


 
 
 
3.Кеңістіктегі декарттық координаталар 
 
Анықтама: Кеңістіктегі аффиндік координаталар жүйесі деп, (ешқандай 
төртеуі бір жазықтықта жатпайтын) жалпы жағдайдағы реттелген төрттік 
аталады.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Кеңістікте  ортақ бас нүктесі бар және  бірдей масштаб бірліктері арқылы 
анықталатын өзара перпендикуляр үш ось кеңістіктегі тік бұрышты  декарттық 
координаталар  жүйесін анықтайды. 
 
x
O
 осі – абсцисса осі,  
y
O
 осі –ордината осі ,  
z
O
 осі- аппликата осі деп аталады.     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
z
y
x
M
M
M
,
,
 - М нүктесінің сәйкес 
x
O

y
O
 және  
z
O
 осьтеріне проекциялары 
болсын.  
Анықтама:  Кеңістіктегі  М  нүктесінің    декарттық  координаталары  деп 
сәйкес 
x
M
O
 ,
y
M
O
 және  
z
OM
бағытталған кесінділерінің шамалары аталады. 
x
OM
x


y
OM
y


z
OM
z

.  
M(x,y,z)  деп белгіленеді
Үш координаталық ось кеңістікті 8 ширекке бөледі.  
2
A
3
A
1
A
x
y
z
O
x
y
z
z
M
y
M
x
M
M

10 
 
 
 
4. Аналитикалық геометрияның қарапайым есептері 
 
I. Екі нүкте ара қашықтығы. 
 
a) сандық осьтегі. 
Бізге  сандық  ось  берілсін.   
)
(
1
1
x
M
  және 
)
(
2
2
x
M
-  осьтегі  кез  келген  нүктелер 
болсын.   
1
2
2
1
x
x
M
M


  -  кесіндінің  шамасы. 
1
2
2
1
)
(
x
x
d
M
M




  -  кесіндінің 
ұзындығы 
 
б) Жазықтықта тікбұрышты декарттық координаталар жүйесі берілсін(ТБКЖ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
)
,
(
),
,
(
2
2
2
1
1
1
y
x
M
y
x
M
,  
1
2
2
1
x
x
M
M
x
x



1
2
2
1
y
y
M
M
y
y



2
1
NM
M

.  

 

2
1
2
2
1
2
y
y
x
x
MM




 

 

2
1
2
2
1
2
y
y
x
x
d




  -  жазықтықтағы  екі  нүктенің  арақашықтығының 
формуласы. 
в) кеңістікте: 

 



2
1
2
2
1
2
2
1
2
z
z
y
y
x
x
d






 

кеңістіктегі 
екі 
нүктенің 
арақашықтығының формуласы. 
 
II. Кесіндіні берілген қатынаста бөлу: 
 
а) түзудегі. 
Сандық түзу берілсін және оған тиісті үш нүкте берілсін. 
 
 
 
 
O
2
M
M
1
M
x
O
1
M
2
M
M
x
M
2
x
M
x
M
1
x
y

11 
 
Анықтама: 
2
1
MM
M
M
  кесінділерінің  шамаларының  қатынасына  тең  А 
саны  үш  нүктенің  жай  қатынасы  деп  аталады  және 
)
(
2
1
2
1
M
M
M
MM
M
M



  деп 
белгіленеді, мұндағы  
2
1
M
M
 - базистық (негізгі) нүктелер, M – бөлетін нүкте. 
Егер: 1) А>0, онда 


2
1
M
M
M

 
          2) А<0, онда 


2
1
M
M
M

 
          3) А=1, онда M - 
2
1
M
M
кесіндісінің ортасы. 
          4) А =-1, онда  М – нүктесі табылмайды.  
Кесіндіні берілген қатынаста бөлу формуласын табамыз. 
)
(
1
1
x
M

)
(
2
2
x
M

)
(x
M

x
x
x
x
MM
M
M




2
1
2
1

 


1
2
x
x
x
x




 
x
x
x
x





2
1
 


2
1
1
x
x
x





 





1
2
1
x
x
x
 
 
б) жазықтықта ТБКЖ берілсін.  
 
y
x
M
y
x
M
y
x
M
,
),
,
(
),
,
(
2
2
2
1
1
1

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
1
MM
M
M


 - Фалес теоремасы бойынша. 





x
x
x
x
M
M
M
M
ч
ч
ч
ч
2
1
2
1

            





y
y
y
y
M
M
M
M
y
y
y
y
2
1
2
1

                                                 










1
1
2
1
2
1
y
y
y
x
x
x
 - жазықтықтағы кесіндіні берілген қатынаста бөлу формулалары.  
Егер   
1



2
,
2
2
1
2
1
y
y
y
x
x
x




  -  берілген  кесіндінің  ортасының 
формулалары.  
в)  Кеңістікте: 





1
2
1
x
x
x
,     





1
2
1
y
y
y
,   





1
2
1
z
z
z
-  кеңістіктегі  кесіндіні 
берілген қатынаста бөлу формулалары.  
O
1
M
2
M
M
x
M
2
x
M
x
M
1
x
y

12 
 
5.Полярлық, цилиндрлік және сфералық координаталар 
 
5.1. Полярлық координаталар 
Жазықтықта  полярлық  координаталар  келесі  түрде  енгізіледі. 
Жазықтықта қандай-да бір (полюс) нүктесін және одан шығатын Ox сәулесін 
таңдап алайық, масштаб бірлігін көрсетеміз.  
Анықтама:  М  нүктесінің  полярлық  координаталары  деп, 

және 

 
екі санды атайды, мұндағы 
OM


 - полярлық радиус, 

 - полярлық бұрыш деп 
аталады. 

-  Ox    осін 
OM
сәулесімен  беттескенге  дейінгі  бұрғаннан  шыққан 
бұрышты атайды.  
Белгіленуі 
)
,
(


M
  -

  және 

  полярлық  координаталары  бар  М  нүктесі.  

және  

 келесі шектеулерде өзгереді:     




0



2
0


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Тікбұрышты  декарттық  координаталар  жүйесінің  бас  нүктесі  полюсте 
орналассын,  ал  Оx  осі  полярлық  осьпен  беттессін.  M(x,y)  –  декарттық 
координаталар, 
)
,
(


M
 - полярлық координаталар. 
Онда 




sin
,
cos


y
x
  -  нүктенің  полярлық  және  декарттық 
координаталары арасындағы байланыс..
2
2
y
x





x
y
tg


.  


Достарыңызбен бөлісу:
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14


©netref.ru 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет