И статистическая физика



Pdf көрінісі
бет1/21
Дата19.12.2019
өлшемі1.13 Mb.
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   21

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 
ИНСТИТУТ ФИЗИКИ 
КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Л.К. Аминов 
 
 
ТЕРМОДИНАМИКА 
И СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА 
 
КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ И ЗАДАЧИ 
 
Казань – 2015 

УДК 536.7(07) 
ББК 22.317 
 
А62 
 
Принято на заседании кафедры теоретической физики 
Протокол № 10 от 8 мая 2015 года 
 
Рецензент  
академик РАН, доктор физико-математических наук, профессор 
К.М. Салихов 
 
 
 
 
 
А62 
 
Аминов Л.К. 
Термодинамика и статистическая физика. Конспекты лекций  
и задачи / Л.К. Аминов. – Казань: Казан. ун-т, 2015. – 180 с. 
 
Настоящее  пособие  является  исправленным  вариантом  одноименного 
издания 2008 года  и  представляет  собой  конспект  лекций  и  сборник  материалов 
для  практических  занятий  по  термодинамике  и  статистической  физике.  Пособие 
разбито на разделы в соответствии с программой курса для студентов физических 
специальностей  классических  университетов.  В  начале  раздела  излагается 
лекционный  материал;  он  сопровождается  комментариями  и  ссылками  на 
литературу  для  углубленного  изучения  дополнительных  вопросов.  Далее 
предлагается  ряд  вопросов  для  проверки  усвоения  основных  определений  и 
теоретических  положений.  Затем  следуют  задачи  по  данному  разделу, 
большинство  задач  снабжено  ответами,  в  ряде  случаев  сделаны  указания  к 
решению.  Расширенное  оглавление  пособия  одновременно  является  программой 
курса лекций. 
 
 
 
 
 
© Аминов Л.К., 2015 
© Казанский университет, 2015 
 
 
 


СОДЕРЖАНИЕ 
Введение.....................................................................................................9 
1. Основы статистического метода исследования  
макроскопических систем 
 
1.1. Предмет и методы термодинамики и статистической физики........
Макроскопические  системы,  макроскопические  состояния,  микро-
состояния,  статистический  вес  макроскопического  состояния, 
статистическая  гипотеза.  Термодинамические  законы,  общее 
начало термодинамики, равновесные состояния, время релаксации, 
локальное равновесие. 
11 
1.2. Микросостояния в классической механике. Уравнение  
Лиувилля..............................................................................................
Фазовое  пространство,  фазовая  траектория.  Функция  статисти-
ческого  распределения.  Статистические  ансамбли.  Уравнение 
Лиувилля,  теорема  Лиувилля,  принцип  сохранения  фазового 
объема. 
 
13 
1.3. Микросостояния в квантовой механике. Матрица плотности........
Смешанный  квантовый  ансамбль.  Статистический  оператор, 
матрица  плотности,  свойства  матрицы  плотности.  Уравнение 
Лиувилля – Неймана. 
15 
1.4. Микроканоническое распределение (основной постулат 
статистической физики) .....................................................................
 
16 
1.5. Эргодическая гипотеза .......................................................................
Квазиэргодические системы 
18 
1.6. Некоторые парадоксы статистической физики................................
Парадокс 
возвращаемости 
(циклы 
Пуанкаре), 
парадокс 
обратимости Лошмидта. 
19 
1.7. Некоторые модельные системы статистической физики................
1.7.1. Спиновая  система. 1.7.2. Система  одинаковых  осцилляторов. 
1.7.3. Частицы  в  кубическом  ящике.  Связь  между  числом 
квантовых  состояний  и  объемом  в  фазовом  пространстве. 
1.7.4. Решеточные модели. 
21 
1.8. Примечания .........................................................................................26 
Контрольные вопросы ...............................................................................26 
Задачи..........................................................................................................27 
2. Основные распределения статистической механики  
равновесных систем 
 
2.1. Термодинамические контакты систем ..............................................
Тепловой  контакт,  материальный  (диффузионный)  контакт, 
механический  контакт.  Распределение  (конфигурация)  полной 
энергии  по  подсистемам,  вероятность  распределения,  наиболее 
вероятное (равновесное) распределение. 
31 


2.2. Энтропия и температура, флуктуации ..............................................
Свойства  энтропии.  Второй  закон  термодинамики.  Направление 
потока  энергии  при  установлении  теплового  равновесия. 
Вероятность  флуктуации.  Связь  статистической  и  термодина-
мической  энтропии. 2.2.1. 
Энтропия  и  температура  спиновой 
системы. Отрицательные температуры. 
33 
2.3. Химический потенциал ......................................................................37 
2.4. Большое каноническое и каноническое распределения 
(ансамбли) ...........................................................................................
Термостаты.  Большая  статсумма,  статсумма  (статистический 
интеграл). 2.4.1. Классическая  форма  канонического  и  большого 
канонического  распределений. 2.4.2. Примеры  приложений  равно-
весных распределений. 
 
37 
2.5. Эквивалентность равновесных ансамблей .......................................42 
2.6. Различные представления энтропии .................................................
Свободная  энергия  и  большой  потенциал.  Информационная 
энтропия. 
43 
2.7. Функции распределения Ферми
 

 
Дирака и Бозе – Эйнштейна .....44 
2.8. Дополнения .........................................................................................
Другие  равновесные  ансамбли.  Энтропия  Колмогорова.  Функция 
Вигнера. Некоторые свойства статсумм. 
46 
Контрольные вопросы ...............................................................................49 
Задачи..........................................................................................................50 
3. Термодинамика 
 
3.1. Обратимые (равновесные) и необратимые (неравновесные) 
процессы ..............................................................................................
Квазистатические  процессы.  Адиабатические,  изотермические, 
изобарические,  изохорические  процессы.  Инфинитезимальные 
процессы. Циклы. 
 
53 
3.2. Давление ..............................................................................................
Обобщенные  силы,  соответствующие  внешним  параметрам 
системы. 
54 
3.3. Основное уравнение термодинамики для квазистатических 
процессов .............................................................................................
Теплота.  Функции  процесса  и  функции  состояния.  Первый  закон 
термодинамики. 
 
55 
3.4. Термодинамические системы во внешних электрическом и 
магнитном полях ................................................................................
 
56 
3.5. Цикл Карно, теоремы Карно..............................................................
Тепловая  машина.  Коэффициент  полезного  действия  машины. 
Неравенство Клаузиуса. 
57 


3.6. Сводка законов термодинамики ........................................................
Общее  начало  термодинамики  (принцип  температуры).  Первый 
закон  термодинамики.  Второй  закон  термодинамики;  принцип 
Клаузиуса,  принцип  Кельвина.  Третий  закон  термодинамики, 
теорема Нернста – Планка. 
58 
3.7. Теплоемкость системы .......................................................................59 
3.8. Термодинамические потенциалы ......................................................
Энтальпия  (тепловая  функция),  свободная  энергия  Гельмгольца, 
термодинамический  потенциал  Гиббса,  большой  потенциал. 
Экстенсивные  (аддитивные)  и  интенсивные  физические  величины. 
Уравнения  Гиббса – Гельмгольца.  Связь  свободной  энергии  со 
статсуммой. 3.8.1. Соотношения  взаимности  Максвелла.  Коэффи-
циент  теплового  расширения,  изотермическая  сжимаемость, 
адиабатическая сжимаемость. 
60 
3.9. Некоторые свойства якобианов и их приложение в 
термодинамике....................................................................................
Связь между C
p
 и C
V
.  
 
63 
 
3.10. Условия равновесия термодинамических систем,  
находящихся в контакте с термостатом..........................................
3.10.1. Принцип максимальной работы. 
 
64 
3.11. Термодинамические неравенства ....................................................66 
3.12. Адиабатические процессы ...............................................................
Использование их для получения низких температур. 3.12.1. Метод 
адиабатического размагничивания парамагнетиков. 
66 
3.13. Следствия третьего закона термодинамики ...................................69 
Контрольные вопросы ...............................................................................69 
Задачи..........................................................................................................70 
4. Идеальные газы 
 
4.1. Одночастичный спектр.......................................................................
Внутренняя структура частиц. 
74 
4.2. Классический идеальный газ .............................................................
Химический  потенциал,  внутренняя  энергия,  уравнение  состояния 
идеального  газа.  Свободная  энергия,  энтропия,  теплоемкость, 
статсумма идеального газа. 4.2.1. Атомарный газ. 4.2.2. Квантовый 
объем, его физический смысл. 
75 
4.3. Теплоемкость двухатомного идеального газа..................................78 
4.4. Смеси идеальных газов ......................................................................80 
4.5. Идеальный газ в силовом поле ..........................................................
Барометрическая формула. 
80 
4.6. Распределение Максвелла по скоростям частиц  
в идеальном газе..................................................................................
Различные формы распределения Максвелла – Больцмана. 4.6.1. Плот-
ность распределения одночастичных состояний по энергиям. 
 
81 


4.7. Вырожденный идеальный ферми-газ................................................
Температура Ферми. Теплоемкость вырожденного ферми-газа. 
82 
4.8. Вырожденный бозе-газ. Бозе-конденсация ......................................
Температура конденсации. Сверхтекучесть жидкого гелия. 
84 
4.9. Черное излучение ...............................................................................
Квантование электромагнитного поля. Формула Планка для распре-
деления интенсивности излучения по частотам. Энергия излучения, 
давление,  теплоемкость  излучения.  Излучение  из  полости.  Закон 
Стефана – Больцмана. 
86 
4.10. Термодинамика кристаллической решетки. Теория Дебая...........
Колебания  кристаллической  решетки.  Модель  Дебая.  Температура 
Дебая. Теплоемкость решетки при низких и высоких температурах. 
Уравнение  состояния  твердого  тела  в  модели  Дебая.  Постоянная 
Грюнайзена. 
90 
4.11. Примечания .......................................................................................
Концепция квазичастиц. Электроны в металлах и полупроводниках. 
93 
 
Контрольные вопросы ...............................................................................94 
Задачи..........................................................................................................95 
5. Неидеальные системы 
 
5.1. Разреженные газы нейтральных частиц ...........................................
Модельные  потенциалы  взаимодействия  частиц.  Приближение 
парных  взаимодействий.  Вириальное  разложение  уравнения 
состояния. 
99 
5.2. Вириальное разложение с использованием большого 
канонического распределения ...........................................................
 
101
5.3. Метод частичных функций распределения ......................................
Равновесные  частичные  функции  распределения.  Двухчастичные 
функции распределения по координатам. 5.3.1. Цепочка уравнений 
для  равновесных  функций  распределения.  Суперпозиционное 
приближение.  
102
5.4. Уравнение состояния (давление) реального газа.............................
Уравнение Ван-дер-Ваальса. Закон соответственных состояний.  
105
5.5. Теория Дебая – Хюккеля для равновесной разреженной плазмы ..
Радиус Дебая – Хюккеля. 
108
5.6. Примечания .........................................................................................110
Контрольные вопросы ...............................................................................111
Задачи......................................................................................................... 111
6. Равновесие фаз. Химическое равновесие 
 
6.1. Условия сосуществования фаз ..........................................................
Примеры  фаз.  Фазовые  переходы.  Уравнение  Клапейрона –
Клаузиуса. 
113
6.2. Критическая точка ..............................................................................114


6.3. Фазовые переходы первого и второго рода......................................
Классификация Эренфеста фазовых переходов. 
115
6.4. Тройная точка. Фазовые диаграммы.................................................117
6.5. Правило фаз Гиббса............................................................................117
6.6. Поверхностное натяжение .................................................................
Коэффициент поверхностного натяжения. 
118
6.7. Метастабильные состояния. Зародыши............................................119
6.8. Ферромагнетизм в приближении молекулярного поля Вейсса ......120
6.9. Теория Ландау фазовых переходов второго рода............................
Параметры  порядка.  Критические  индексы. 6.9.1. О  флуктуаци-
онной  теории  фазовых  переходов.  Гипотеза  подобия  критических 
флуктуаций. 
122
6.10. Условия химического равновесия ...................................................126
6.11. Закон действующих масс .................................................................
Константы химического равновесия. 
126
6.12. Термическая ионизация водорода. .................................................127
6.13. Примечания и дополнения ...............................................................
Метод Брэгга – Вильямса. Слабые растворы. 
128
Контрольные вопросы ...............................................................................129
Задачи..........................................................................................................129
7. Теория флуктуаций и элементы неравновесной 
термодинамики 
 
7.1. Мера флуктуаций................................................................................131
7.2. Формула Эйнштейна для вероятности флуктуаций ........................131
7.3. Гауссово распределение вероятности малых флуктуаций..............132
7.4. Флуктуации системы, помещенной в термостат..............................132
7.5. Рассеяние света флуктуациями .........................................................
Формула Рэлея. 
134
7.6  Корреляция флуктуаций во времени.................................................
Теорема Винера – Хинчина 
135
7.7. Принцип симметрии кинетических коэффициентов  
(соотношения Онзагера).....................................................................
 
136
7.8. Элементы термодинамики необратимых процессов .......................
Потоки  и  обобщенные  силы.  Теорема  Онзагера.  Производство 
энтропии. 
137
7.9. Термомеханический эффект ..............................................................139
7.10. Дополнения и примечания ...............................................................
Функции  Грина.  Дисперсионные  соотношения.  Линейный  отклик 
системы  на  внешнее  возмущение.  Обобщенная  восприимчивость. 
Флуктуационно-диссипационная  теорема.  Уравнения  для  функций 
Грина.  Неравновесные  стационарные  состояния.  Состояния  с 
минимальным производством энтропии. 
140


Контрольные вопросы ...............................................................................144
Задачи..........................................................................................................144
 
 
8. Элементы физической кинетики 
 
8.1. Кинетическое уравнение для классических систем.........................
Интеграл  столкновений.  Кинетическое  уравнение  в  приближении 
времени релаксации. Электронный газ в постоянном электрическом 
поле. 
146
8.2. Кинетическое уравнение Больцмана.................................................
Принцип детального равновесия. 
148
8.3. Уравнения Власова для бесстолкновительной плазмы ...................149
8.4. Теория броуновского движения ........................................................
Уравнение  Ланжевена.  Приближение  «белого  шума».  Диффузия 
броуновских  частиц.  Формула  Эйнштейна  для  коэффициента 
диффузии. 
150
8.5. Уравнение Фоккера – Планка............................................................
Случайные марковские процессы. Уравнение Смолуховского. 
151
8.6. Основное кинетическое уравнение (уравнение баланса)................155
8.7. Н-теорема Больцмана .........................................................................155
8.8. Уравнения Блоха.................................................................................156
8.9. Дополнения и примечания.................................................................
Цепочка  уравнений  Боголюбова  для  частичных  функций  распре-
деления.  Стадии  неравновесных  процессов.  Законы  сохранения  и 
уравнения гидродинамики. 
157
Контрольные вопросы ...............................................................................160
Задачи..........................................................................................................160
Литература ................................................................................................162
Некоторые физические постоянные.....................................................165
Некоторые математические формулы.................................................166
Ответы и указания к решениям задач.................................................169
 


ВВЕДЕНИЕ 
 
Настоящее  пособие  написано  на  основе  курса  лекций  по 
термодинамике  и  статистической  физике,  который  в  течение  многих 
лет  читался  автором  для  студентов-физиков  четвертого  курса 
Казанского  университета.  В  нем  также  обобщен  опыт  подбора  задач 
для  практических  занятий  по  данному  курсу  и  составления 
контрольных заданий. 
Существует большое число учебников, учебных пособий, изданий 
монографического  характера  по  термодинамике  и  статистической 
физике,  намного  перекрывающих  рекомендованные  для  студентов 
вузов программы по этому предмету. Опыт показывает, однако, что для 
слушателей  полезно  иметь  под  рукой  текст,  максимально 
приближенный к фактическому содержанию лекций. То же относится к 
тексту  задач  и  вспомогательному  материалу  для  их  решения.  Иными 
словами,  предлагаемое  пособие,  в  основном,  предназначено  для 
студентов,  которые  слушают  данный  курс,  но  автор  надеется,  что  оно 
будет полезным справочным материалом и для выпускников, этот курс 
уже прослушавших. 
Содержание курса и порядок изложения материала традиционны, и 
достаточно  полное  представление  о  них  можно  получить  из 
расширенного  оглавления  книги.  Большая  часть  времени  отводится 
статистической  механике  равновесных  систем.  Многие  интересные 
проблемы  в  учебном  курсе  излагаются  весьма  бегло,  либо  вообще  не 
излагаются.  Частично  они  переносятся  в задачи и рассматриваются на 
практических  занятиях.  Часть  важных,  на  взгляд  автора,  вопросов  в 
настоящем  пособии  в  конспективном  виде  вынесена  в  примечания  и 
дополнения  к  основному  тексту;  в  связи  с  этим  приводятся 
многочисленные ссылки на литературные источники, в которых можно 
найти  более  подробное  изложение  затронутых  вопросов.  В  списке 
литературы  фамилии  авторов  книг  (или  редакторов  сборников) 
расположены  в  алфавитном  порядке,  поэтому  сами  ссылки  даются  с 
указанием фамилии автора книги, года издания и, при необходимости, 
страницы книги.  
Теоретический  курс  термодинамики  и  статистической  физики 
затрагивает  тот  же  круг  проблем,  что  и  общий  курс  молекулярной 
физики,  читаемый  студентам-физикам  на  младших  курсах.  К 
четвертому  году  обучения  студенты  получают  основательную 

10 
математическую  подготовку,  знакомятся  с  основами  электродинамики 
и  квантовой  механики,  что  позволяет  строить  теоретический  курс  на 
новом  уровне.  Представляется  целесообразным,  не  дожидаясь 
специальных  ссылок,  сопоставлять  материал  лекций  данного  курса  с 
соответствующими  разделами  молекулярной  физики,  например,  по 
учебному  пособию  Сивухина (1990), содержащему,  помимо 
теоретической части, значительный экспериментальный материал. 
В  настоящее  пособие  включено  большое  число  задач,  которые 
служат  иллюстрацией  теоретических  положений,  расширяют  круг 
проблем,  обсуждаемых  на  лекциях,  прививают  навыки  конкретных 
вычислений  и  оценок.  Практически  все  задачи  снабжены  ответами  и 
краткими  указаниями  путей  решения,  для  ряда  задач  приводятся 
подробные  решения.  Мы  сочли  целесообразным  в  качестве 
специального  раздела  выделить  вопросы  для  контрольных  заданий 
(тестов),  призванных  проверить  правильность  понимания  основных 
определений,  законов,  формул.  Определенную  замкнутость  пособию 
придают  таблицы  часто  используемых  при  решении  задач  физических 
постоянных и математических формул. 
Автор  признателен  Р.Г. Деминову  и  В.В. Клековкиной  за  ценные 
замечания по рукописи. 

11 
 
1. ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ 
МАКРОСКОПИЧЕСКИХ СИСТЕМ 
 
1.1. Предмет и методы термодинамики и статистической физики 
 
Цель  курса 
  изучение  общих  закономерностей  поведения 
макроскопических  систем,  обладающих  большим  числом  степеней 
свободы  (например,  содержащих  N 
 
10
20
  частиц,  порядка  числа 
молекул  в 1 см
3
  воздуха).  С  точки  зрения  механики  (классической  и 
квантовой)  такие  системы  невообразимо  сложны,  однако  опыт 
показывает,  что  в  обычных  условиях  они  хорошо  описываются 
сравнительно  небольшим  числом  макроскопических  параметров.  Так, 
практически  все  характеристики  газов  определяются  их  объемом, 
температурой, 
массой 
(или 
числом 
частиц). 
Состояния 
макроскопических 
систем, 
описываемые 
макроскопическими 
параметрами,  называют  макроскопическими  или  термодинамическими 
состояниями.  Очевидно,  макросостояния  совместимы  с  огромным 
числом  механически  заданных  (например  в  классической  механике, 
указанием  всех  обобщенных  координат  и импульсов) микросостояний 
(возможные, или допустимые при данных значениях макроскопических 
параметров  микросостояния).  Число  допустимых  микросостояний 
замкнутой 
системы 
называется 
статистическим 
весом 
макроскопического  состояния.  Это  очень  важная  физическая 
характеристика,  через  которую  определяется  энтропия  системы 
(раздел 2.2). 
Наблюдаемые  в  макросостояниях  физические  величины  являются 
результатом  усреднения  значений  этих  величин  в  допустимых 
микросостояниях. 
Для 
фактического 
проведения 
усреднения 
необходимо 
располагать 
распределением 
вероятностей 
микросостояний. 
Обычно 
распределение 
микросостояний 
для 
изолированной  равновесной  системы  постулируется  (основная 
статистическая  гипотеза – микроканоническое  распределение
раздел 1.4),  а  другие  равновесные  распределения  выводятся  на  его 
основе.  Вычисление  физических  величин  путем  усреднения  их 
значений  в  микросостояниях  составляет  основу  статистического 
метода  исследования  макросистем.  Термодинамический  метод 
заключается  в  выводе  общих  законов,  соотношений  между 

12 
макроскопическими  величинами  на  основе  экспериментов,  без 
обращения к атомно-молекулярной структуре вещества. Название курса 
отражает  эти  два  подхода  к  исследованию  макроскопических  систем. 
Термодинамический  (феноменологический)  подход  обладает  большей 
общностью;  статистический  метод  позволяет  глубже  проникнуть  в 
природу явлений. 
Одно  из  наиболее  важных  положений  термодинамики  (его  иногда 
называют  общим  началом  термодинамики)  заключается  в  том,  что 
любая замкнутая (изолированная от других) макросистема с течением 
времени  приходит  в  состояние  равновесия,  в  котором  физические 
величины  (макроскопические  параметры),  характеризующие  систему, 
не  меняются  во  времени,  и  остается  в  этом  состоянии  неопределенно 
долго.  Процесс  установления  равновесия  называется  релаксацией
время  процесса 
  временем  релаксации.  Диапазон  возможных  времен 
релаксации  огромен, ~ 10
12
 
 10
8
  сек.  Равновесие  означает,  что  и 
отдельные макроскопические части системы (подсистемы) находятся в 
состоянии  внутреннего  равновесия  (если  их  изолировать,  разгородить, 
то это не приведет ни к каким изменениям в их состоянии), а также в 
равновесии  друг  с  другом 
  нет  потоков  энергии  и  частиц  от  одних 
подсистем  к  другим.  Движение  на  молекулярном  уровне  не 
прекращается и в равновесном состоянии, что приводит к непрерывным 
флуктуациям – небольшим кратковременным отклонениям системы от 
полного равновесия. 
Локальное  (или  неполное)  равновесие  означает,  что  система 
подразделяется  на  подсистемы,  находящиеся  в  состоянии  внутреннего 
равновесия,  но  отсутствует  равновесие  между  подсистемами.  При 
изоляции  подсистем  изменения  в  системе  прекращаются.  Число 
независимых 
макроскопических 
параметров, 
характеризующих 
систему,  возрастает  по  мере  отклонения  от  полного  равновесия, 
например,  приходится  использовать  две  или  более  температур  вместо 
одной  и  т.п.  Напротив,  в  процессе  релаксации  (в  сложных  системах 
процесс  может  состоять  из  ряда  этапов)  число  независимых 
макроскопических  параметров  уменьшается  (происходит,  как  говорят, 
сокращение  описания).  Соответственно,  ослабляются  ограничения  на 
допустимые микросостояния, и статистический вес системы возрастает.  
Можно  теперь  уточнить,  что  макроскопические  состояния 
  это 
равновесные  или  локально-равновесные  состояния  макроскопических 

13 
систем. 
Термодинамика 
и 
статистическая 
физика 
изучают 
макроскопические  системы  в  макроскопических  состояниях.  Основная 


Достарыңызбен бөлісу:
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   21


©netref.ru 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет