Исследование функции на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба графика функции



жүктеу 83.27 Kb.
Дата02.05.2016
өлшемі83.27 Kb.
: company -> personal -> user
user -> Философия Средневековья и эпохи Возрождения
user -> Элементы геометрической оптики
user -> Тема Общие принципы хранения и консервирования с х. продуктов. План
user -> Биогеографическое районирование океана
user -> Расчет элементов и узлов аппаратуры связи
user -> Лекция 2 «Коллоидные системы»




Общая схема исследования функции и построение графика.
1. Исследование функции на выпуклость и вогнутость.

  1. Точки перегиба графика функции.

  2. Асимптоты графика функции.

4. Схема полного исследования функции и построение графика.
Введение.

В школьном курсе математики вы уже встречались с необходимостью построения графиков функций. В основном, вы использовали способ построения по точкам. Следует отметить, что он прост по идее и сравнительно быстро приводит к цели. В случаях, когда функция непрерывна и изменяется довольно плавно, такой способ может обеспечить и необходимую степень точности графического представления. Для этого нужно брать побольше точек, чтобы достичь определённой густоты их размещения.

Предположим теперь, что функция в отдельных местах имеет особенности в своём «поведении»: либо её значения где-то на малом участке резко меняются, либо имеют место разрывы. Наиболее существенные части графика таким способом могут и не быть обнаружены.

Это обстоятельство и снижает ценность способа построения графика «по точкам».

Существует второй способ построения графиков, основанный на аналитическом исследовании функций. Он выгодно отличается от способа, рассмотренного в школьном курсе математики.

1. Исследование функции на выпуклость и вогнутость.

Пусть функция дифференцируема на интервале (а, в). Тогда существует касательная к графику функции в любой точке этого графика (), причем касательная не параллельна оси OY , так как ее угловой коэффициент, равный , конечен.



Определение Будем говорить, что график функции на (а, в) имеет выпускать, направленную вниз (вверх), если он расположен не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на (а, в).

а) вогнутая кривая б) выпуклая кривая


Теорема 1 (необходимое условие выпуклости (вогнутости) кривой).

Если график дважды дифференцируемой функции выпуклая (вогнутая) кривая, то вторая производная на интервале (а, в) отрицательна (положительна) на этом интервале.


Теорема 2 (достаточное условие выпуклости (вогнутости) кривой).

Если функция дважды дифференцируема на (а, в) и () во всех точках этого интервала, то кривая, являющаяся графиком функции выпуклая (вогнутая) на этом интервале.



  1. Точки перегиба графика функции.


Определение Точка называется точкой перегиба графика функции , если в точке график имеет касательную, и существует такая окрестность точки , в пределах которой график функции слева и справа точки имеет разные направления выпуклости.

Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает график функции, так как с одной стороны от этой точки график лежит над касательной, а с другой – под нею, т. е. в окрестности точки перегиба график функции геометрически переходит с одной стороны касательной на другую и «перегибается» через нее. Отсюда и произошло название «точки перегиба».


Теорема 3 ( необходимое условие точки перегиба). Пусть график функции имеет перегиб в точке и пусть функция имеет в точке непрерывную вторую производную. Тогда .
Не всякая точка , для которой , является точкой перегиба. Например, график функции не имеет перегиба в точке (0, 0), хотя при . Поэтому равенство нулю второй производной является лишь необходимым условием перегиба.


Точки графика, для которых называется критическими точками II-го рода. Необходимо дополнительно исследовать вопрос о наличии перегибав каждой критической точке.




Теорема 4 (достаточное условие точки перегиба). Пусть функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки . Тогда, если в пределах указанной окрестности имеет разные знаки слева и справа от точки , то график имеет перегиб в точке .
Замечание. Теорема остается верной, если имеет вторую производную в некоторой окрестности точки , за исключением самой точки , и существует касательная к графику функции в точке . Тогда, если в пределах указанной окрестности имеет разные знаки слева и справа от точки , то график к функции имеет перегиб в точке .
Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

  1. Найти

  2. Найти

  3. Найти точки, в которых , или не существует.

  4. Составить интервалы, границами которых являются найденные точки.

  5. Определить знак в каждом интервале и определить характер функции на каждом их них.

  6. Найти значение функции в точках перегиба.


Пример. Исследовать функцию на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.
1.

2. , =

3. не существует при




()

1

(1, +)



-



+






1


















  1. Асимптоты графика функции.

При исследовании поведения функции при или вблизи точек разрыва 2-го рода, часто оказывается, что график функции сколь угодно близко приближается к той или иной прямой. Такие прямые называют.


Определение 1. Прямая называется асимптотой кривой L, если расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки по кривой к бесконечности. Существует три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.


Определение 2. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из односторонних пределов равен , т. е. или

Например, график функции имеет вертикальную асимптоту , т. к. , а .


Определение 3. Прямая у=А называется горизонтальной асимптотой графика функции при если .

Например, график функции имеет горизонтальную асимптоту у=0 , т. к. .


Определение 4. Прямая () называется наклонной асимптотой графика функции при если ;

Если хотя бы один из пределов не существует, то кривая асимптот не имеет. Если, то следует искать эти пределы отдельно, при и .


Например. Найти асимптоты графика функции



; х=0 – вертикальная асимптота





; .

;

- наклонная асимптота.
4. Схема полного исследования функции и построение графика.

Рассмотрим примерную схему по которой целесообразно исследовать поведение функции и строить ее график.



  1. Найти область определения функции .

  2. Проверить функцию на четность и нечетность

  3. Найти асимптоты.

  4. Найти точки возможного экстремума, т. е. критические точки I – го рода­­­­­.

  5. Найти точки возможного перегиба, т. е. критические точки II-го рода.

  6. Составить сводную таблицу.

  7. Найти точки пересечения графика функции с осями координат

  8. Построить график функции, учитывая проведенное исследование.



Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

1. , кроме х=-1.

2. функция ни четная ни нечетная

3. ; ; х=-1 точка разрыва функции 2 – го рода, а прямая х=-1 – вертикальная асимптота.



;

Следовательно наклонная асимптота

4. ; ;

; ; - критические точки I-го рода

5.=;



; критических точек второго рода нет.





-2

()

-1

(-1; 0)

0



y’

+

0

-



-

0

+



-




-



+




+

y


max



-4

.



т р.


min



0








Заключение.
Важной особенностью рассмотренного способа является то, что в его основе лежит прежде всего обнаружение и изучение характерных особенностей в поведении кривой. Места, где функция изменяется плавно, не изучаются особенно подробно, да и нет надобности в таком изучении. Зато те места, где функция имеет какие-либо особенности в поведении, подлежат полному исследованию и максимально точному графическому изображению. Этими особенностями являются точки максимума, минимума, точки разрыва функции и др.

Определение направления вогнутости и перегибов, а также указанный способ нахождения асимптот дают возможность провести исследование функций ещё более детально и получить более точное представление об их графиках.



©netref.ru 2017
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет