Кривой класса Ск



Дата02.05.2016
өлшемі75.16 Kb.
Дифференциальная геометрия.

§ 1. Гладкие кривые в Е3. Натуральный параметр. Касательная.

Пусть в Е3 фиксирована прямоугольная декартова система координат.

Определение. Пусть дана параметризованная кривая : x=x(t), y=y(t), z=z(t), tI (или, что равносильно ). Кривая  называется кривой класса Ск , , если функции x(t), y(t), z(t) имеют непрерывные производные до порядка включительно и для (или равносильно ).

Условие называется условием регулярности. Если , то  называется гладкой кривой.

Гладкая кривая может быть задана системой уравнений (*)

Пусть - множество точек, задаваемое системой (*) и . Если 1) существует окрестность : и имеют частные производные первого порядка; 2) в точке , то существует окрестность : - гладкая кривая класса Ск, .



  1. [A] №942. Пусть  - пересечение цилиндрической поверхности с плоскостью . Написать параметрическое представление  и доказать, что это гладкая кривая.

Решение. 1) Заметим, что линия  задана как пересечение двух поверхностей и , где , .
2) Функции и имеют непрерывные частные производные первого порядка на всем : , , ; , , . Кроме того, для . Но все множество является гладкой кривой.
3) Запишем параметрическое представление . Выразим и как функции х: . Обозначим х как параметр (причем из первого уравнения системы следует, что , то есть ) и получим, что задается как объединение двух кривых и . Это параметрическое представление неудобно.
4) Запишем другое параметрическое представление . Так как из первого уравнения, задающего множество (пункт 1)) следует, что , и , можно обозначить , . Тогда . Или в векторном виде .
5) Убедимся, что - гладкая кривая, используя ее параметрическое представление. Очевидно, что вектор-функция имеет непрерывные производные любого порядка и для . 


  1. Лестница АВ длины скользит своими концами по осям прямоугольной декартовой системы координат, которую студенты заботливо натерли мылом. Прямые АС и ВС , параллельные координатным осям, пересекаются в точке С, из которой проведен перпендикуляр СМ к лестнице АВ. Точка М обозначена этой буквой не случайно, поскольку перепуганный монтер, почуяв скольжение лестницы, сползает по ней вниз так, что сливается с точкой М в одно перепуганное целое. Найдите параметрическое задание траектории монтера (Астроида).




Решение. 1) Пусть - угол наклона лестницы к оси , .

2) Фиксируем момент времени . В этот момент времени , . Из подобия треугольников ВМС и ВСА получим . Откуда , .

3) Итак, траектория монтера задается параметрическими уравнениями: . Уравнения всей астроиды . 

Определение. Точка гладкой кривой называется регулярной, если .
Теорема. В любой регулярной точке М кривая имеет единственную касательную, которая определяется точкой М и направляющим вектором .

Определение. Плоскость, проходящая через точку перпендикулярно касательной к кривой в этой точке, называется нормальной плоскостью.

3. Найти линию, по которой касательные к кривой , , пересекают плоскость .

Решение. 1) Фиксируем . Тогда точка .
2) Напишем уравнение касательной к , проходящую через точку .
а) найдем направляющий вектор этой прямой: .
. Тогда .
б) Прямая определяется точкой и направляющим вектором , то есть ее канонические уравнения

3) Все множество касательных образует семейство прямых .


4) Уравнение плоскости . Тогда уравнения искомой кривой . ‰


  1. Найти наиболее удаленные касательные к астроиде .

Решение. 1) Запишем уравнение касательной в точке со значением :

а) .


б) Тогда касательная определяется точкой и направляющим вектором , то есть .

2) Вычислим . Эта функция достигает максимума при . Запишем . Остальные касательные вычисляются аналогично. ‰


5. [A] № . Доказать, что гладкая кривая лежит на сферической поверхности с центром в точке . Определите радиус сферической поверхности.

Решение.



Общий способ: из одного параметрического уравнения выразить параметр и подставить в два остальных уравнения. Полученная система будет задавать две поверхности, пересечение которых является данной кривой. В частности, кривая лежит на каждой из полученных поверхностей.

1) Заметим, что в данной задаче общий способ очень трудоемок и будем решать по-другому.

2). Зафиксируем произвольную точку , пусть ей соответствует значение параметра . Тогда .


Вычислим выражение = . Итак, любая точка лежит на сфере радиуса . ‰
Формула для длины дуги кривой : .

  1. [Б] №1641. Найти длину дуги винтовой линии от точки пересечения с плоскостью до произвольной точки . Записать ее уравнения в натуральной параметризации.

Решение. 1) Найдем точку пересечения : и соответствующее ей значение параметра .
2) Вычислим .
3) Мы получили, что длина дуги и произвольный параметр связаны формулой . Откуда выразим . Подставим в уравнения винтовой линии. - натуральная параметризация винтовой линии. ‰
Определение. Пусть даны линия и точка С. Обозначим через ортогональную проекцию точки С на касательную МТ к линии в точке . Фигура называется подэрой линии относительно точки С.


  1. [Б] №1638. Найти подэру параболы относительно ее фокуса.

Решение. 1) Запишем уравнение касательной к параболе в точке : . Мы можем вспомнить это уравнение из курса аналитической геометрии или можем вывести как в задаче 3.

2) Запишем уравнение прямой , где - фокус параболы. Направляющий вектор имеет координаты . Тогда .

3) Точка определяется системой уравнений . Выражая и из первых двух уравнений и подставляя в третье, получим уравнения подэры . ‰


  1. [Б] №1650. Гладкая линия задана системой уравнений
    (*)

Написать уравнения касательной прямой и нормальной плоскости в точке этой линии.

Решение. 1) Так как система уравнений задает гладкую линию, то в некоторой окрестности точки эта система разрешима относительно , то есть существуют гладкие функции такие, что , , причем в точке .

2) Продифференцируем систему (*) по х: . Это система линейных уравнений относительно и , вычисленных в точке . Так как , эта система имеет единственное решение: , .

3) Направляющий вектор касательной к в точке : , то есть направляющий вектор касательной или коллинеарный ему вектор . Тогда уравнение касательной в точке принимает вид: .


4) Докажем, что вектор . Вычислим . Аналогично доказывается, что . Тогда уравнение нормальной плоскости: (все производные вычислены в точке . 
Задачи к зачету и проверочным работам (семинар 1).

  1. [А] №948. Показать, что кривая гладкая и лежит на сфере с центром в начале координат радиусом 2 и на цилиндрической поверхности .

  2. [А] №949. Доказать, что кривая лежит на гиперболическом параболоиде и пересекает прямолинейные образующие одного из семейств под прямым углом.

  3. Дана кривая . Записать ее уравнения в натуральной параметризации.

  4. Записать в натуральной параметризации уравнения кривой .

  5. [Б] №1632. Показать, что нормальные плоскости линии , проходят через одну точку.

  6. [Б] №1636. Написать уравнения касательной прямой и нормальной плоскости к линии в точке .

  7. [Б] №1639. Найти подэру эллипса относительно фокуса.

  8. Найти подэру эллипса относительно его центра.

  9. Найти подэру гиперболы относительно ее фокуса.

  10. Найти подэру параболы относительно точки , где - константа.

  11. [А] №943. Пусть - пересечение цилиндрических поверхностей и . Написать параметрическое представление множества , не содержащее радикалов. Будет ли гладкой кривой? Найти уравнение касательной в точке .

  12. [Б] №1633.Написать уравнение нормальной плоскости в произвольной точке линии .

  13. Доказать, что все нормальные плоскости к линии параллельны оси .

  14. Написать уравнения нормальных плоскостей к кривой , проходящих через точку

  15. [Б] №1649. Доказать, что часть циклоиды является гладкой линией. Найти длину одной арки циклоиды.

  16. [А] №947. Доказать, что кривая гладкая и лежит на конической поверхности. Определить угол между этой кривой и образующей конуса в точке со значением параметра .

  17. [Б] . Показать, что линия лежит на сфере . Найти уравнение касательной к этой линии в точке с .

  18. [Б] №1646. Найти длину дуги кривой . Записать ее уравнения в натуральной параметризации.

  19. Доказать, что есть ветвь гиперболы.

  20. [А] №1015. Доказать, что длина отрезка касательной к астроиде в любой ее точке, заключенный между осями координат, равна .

  21. Найдите параметризацию кривой, являющейся пересечением сферы радиуса и прямого кругового цилиндра диаметра , одна из образующих которого проходит через центр сферы (Кривая Вивиани).

  22. [А] №964. Доказать, что касательные к кривой образуют постоянный угол с некоторым ненулевым вектором . Определить .









Достарыңызбен бөлісу:


©netref.ru 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет