Лекция 1 первое знакомство с maple



жүктеу 139.72 Kb.
Дата01.05.2016
өлшемі139.72 Kb.
түріЛекция
: DocLib6 -> %D0%9A%D0%B0%D1%84%D0%B5%D0%B4%D1%80%D1%8B -> %D0%92%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B9%20%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8%20%D0%B8%20%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F -> %D0%A3%D1%87%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BE%D0%B1%D0%B8%D1%8F
DocLib6 -> «Оккультизм»; Подраздел: «Новый Акрополь»
%D0%A3%D1%87%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BE%D0%B1%D0%B8%D1%8F -> Лекция 7 аксонометрические проекции
%D0%A3%D1%87%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BE%D0%B1%D0%B8%D1%8F -> Лекция 8 технические рисунки и эскизы
DocLib6 -> Костромская область нейский район солтановский с
DocLib6 -> Системное программное обеспечение
DocLib6 -> Вопросы к экзамену по математическому анализу (1 семестр)
DocLib6 -> Мастерская по творчеству А. А. Фета
Лекция 1
ПЕРВОЕ ЗНАКОМСТВО С MAPLE
Системы класса Maple были созданы корпорацией Waterloo Maple, Inc. (Канада) как системы компьютерной алгебры (СКА) с расширенными возможностями в области символьных (аналитических) вычислений. Уже первые версии системы Maple V показали себя лидерами в области символьных вычислений. Ядро и встроенные пакеты расширения этих систем насчитывали до 3500 встроенных функций для выполнения различных вычислений и символьных преобразований. В отличие от языков программирования высокого уровня, Maple может решать большое количество математических задач путем введения команд, без всякого дополнительного программирования. Кроме того, Maple может оперировать не только приближенными числами, но и точными целыми и рациональными числами. Решение задач может быть получено аналитически, то есть в виде формул, состоящих из математических символов. Вследствие этого Maple называют пакетом символьной математики.

Главным достоинством системы Maple является ее способность выполнять арифметические действия. При работе с дробями и корнями они не приводятся в процессе вычисления к десятичному виду, что позволяет избежать ошибок при округлении. При необходимости работы с десятичными эквивалентами в системе Maple имеется команда, аппроксимирующая значение выражения в формате чисел с плавающей запятой. Система Maple вычисляет конечные и бесконечные суммы и произведения, выполняет вычислительные операции с комплексными числами, легко приводит комплексное число к числу в полярных координатах, числовые значения элементарных функций, а также многих специальных функций и констант.

Разработчики других известных математических пакетов, таких как MathCad и MathLab используют символьный процессор Maple в своих программах.

Maple – типичная интегрированная программная система. Она объединяет в себе:

• мощный язык программирования (он же язык для интерактивного общения с системой);

• редактор для подготовки и редактирования документов и программ;

• современный многооконный пользовательский интерфейс с возможностью работы в диалоговом режиме;

• мощную справочную систему со многими тысячами примеров;

• словарь математических понятий и терминов с алфавитной организацией;

• ядро алгоритмов и правил преобразования математических выражений;

• численный и символьный программные процессоры;

• систему диагностики;

• библиотеки встроенных и дополнительных функций;

• пакеты расширения как встроенные, так и сторонних производителей;

• средства поддержки некоторых языков программирования и интеграции с широко распространенными программами.

Центральное место в структуре Maple занимает ядро системы, которое состоит из множества заранее откомпилированных функций и процедур, представленных в машинных кодах и обеспечивающих достаточно представительный набор встроенных функций и операторов системы. Спецификой СКА является наличие в ядре множества правил преобразований математических выражений и функций и их определений в символьном виде.

Ядро СКМ тщательно оптимизируется, поскольку от этого зависит скорость вычислений, обеспечиваемых той или иной системой компьютерной математики. Этому способствует и компиляция ядра. Доступ в ядро пользователя для его модификации, как правило, исключен. Объем ядра достигает нескольких мегабайт. Пишется ядро на языке реализации системы – в Maple это язык С.

Основной режим работы в пакете – режим командной строки или интерактивный режим. При загрузке программы автоматически загружается новый рабочий лист (worksheet), на котором есть приглашение для ввода команды >. В командную строку можно записать любое алгебраическое выражение. Если в конце выражения поставить знак ; , то при нажатии клавиши Enter выражение будет обработано программой, а результат выведен на дисплей, например:

>2*3^5-x^2*sin(y-Pi);

486+x2sin(y)

Таким образом, можно получать вычисленные значения выражений, введенных в командную строку, то есть работать с программой, как с калькулятором. Также можно присваивать имена вводимым выражениям при помощи оператора присваивания

>r:=5*sin(y);



r:=5sin(y)

Теперь можно вывести предыдущее выражение, записав

>r;

5sin(y)


Алфавит языка и его синтаксис

Определение языка можно разбить на 4 части: символы (characters), высказывания (tokens), синтаксис (syntax) и семантика (semantics) – толкование.



Алфавит языка содержит 26 прописных и строчных латинских букв (от a до z) (прописные и строчные буквы различаются) 10 арабских цифр (от 0 до 9) и 32 специальных символа:

  • арифметические операторы +, –, *, /;

  • знак возведения в степень ^;

  • 5 пар альтернативных символов: ^ – **, [ – (|, ] – |), { – (*, } – *);

  • : – фиксатор выражения, предотвращающий вывод результата вычисления в ячейку вывода;

  • ; – фиксатор выражения, дающий вывод результата вычисления в ячейку вывода;

  • # – указатель программного комментария;

  • ‘ – ограничитель строки;

  • := – оператор присваивания;

  • ;; – пустой оператор;

  • :: – указатель типа переменной (n::integer или z::complex).

Высказываниями (лексемами) являются ключевые слова, операторы программирования, строки, натуральные числа и знаки препинания.

Зарезервированные слова – имеют специальное значение и их нельзя применять в качестве идентификаторов.

Операторы программного языка. Имеются 3 типа операторов (binary, unary, nullary): двуместные (бинарные), одноместные (унарные), и нульарные – не имеющие операндов. Последних всего 3 (ditto–операторы) обращения к предыдущему вычислению (%,%%,%%%)




>1:2:3:

>%;


3

>1:2:3:

>%%;


2

>1:2:3:

>%%%;


1

>2+3:

>%;


5

Высказывания можно разделять пустыми операторами или знаками препинания.



Пустые разделители – это пробелы, знаки табуляции и возврат каретки. Пробелы нельзя использовать внутри высказываний (лексем), но можно между лексемами. В строках, заключенных в обратные кавычки, они становятся частью высказывания.

>a*x+x*y; # комментарий



ax+xy

Перейти на новую строку с продолжением записи команды можно, нажав клавиши ShiftEnter.


Выражения
Выражение может содержать операторы, операнды и функции с параметрами. Строка ввода математических выражений имеет отличительный символ >, а строка ввода текстов никаких признаков не имеет. Встречая выражение, Maple оценивает его, т.е. если выражение – скалярная переменная, то её значение будет выведено в ячейке вывода. Для переменных более сложных типов выводится не их значение, а просто повторяется имя переменной. Просто повторяются также имена неопределенных переменных.
Важным понятием системы Maple (да и математики вообще) является понятие функции. Функция возвращает результат некоторого преобразования исходных данных – параметров функции по определенному правилу, обычно представленному в виде формулы или программного модуля. Maple имеет множество встроенных функций, включенных в его ядро и в пакеты.

Функция в выражениях задается вводом ее имени и списка параметров функции (одного или нескольких), заключенного в круглые скобки: например, sqrt(2) задает функцию вычисления квадратного корня с параметром 2 (численной константой). Основным признаком функции является возврат значения в ответ на обращение к ней по имени (идентификатору) с указанием списка параметров функции. Например:

> 2*sin(1.);

1.682941970

> 2*sin(1);

2 sin(1)


Обратите внимание на особую роль десятичной точки – здесь она служит указанием к выполнению вычисления значения sin(1.0) (или, что то же самое, sin(1.)). А вот синус целочисленного аргумента 1 не вычисляется – считается.

Помимо функций, для записи математических выражений используется специальные знаки – операторы. К примеру, вычисление квадратного корня часто записывается с помощью его специального знака — √. Достаточно хорошо известны операторы сложения +, вычитания -, умножения деления / и некоторые другие. Операторы обычно используются с операндами в виде констант или переменных, например в записи 2*(3+4) числа 2, 3 и 4 — это операнды, а знаки * и + — операторы. Скобки используются для изменения порядка выполнения операций. Так, без них 2*3+4=10, тогда как 2*(3+4)=14, поскольку вначале вычисляется выражение в скобках.

Пожалуй, самым распространенным оператором является оператор присваивания :=. Он используется для задания переменным конкретных значений, например:

> х:=у;


х := у

> у:=z;


y := z

> z:=2;


z := 2

> х;


2

> у;


2

В этом примере переменные х, у и z взаимосвязаны с помощью операций присваивания. Поэтому задание значения 2 переменной z приводит к тому, что и переменные у и х принимают то же значение.

Другой распространенный оператор – оператор равенства = используется для задания равенств и логических условий (например, а=b), указания областей изменения переменных (например, i=1..5 означает формирование диапазона изменения i от 1 до 5) и определения значений параметров в функциях и командах (например, color=black для задания черного цвета у линий графиков).

Операторы сами по себе результат не возвращают. Но они, наряду с функциями и своими параметрами (операндами), позволяют конструировать математические выражения, которые при их вычислении также возвращают результат.

Для оценивания выражений применяются следующие функции:


  • eval(array) – возвращает содержимое массива array;

  • evalf(выражение, n) – вычисляет выражение и возвращает вычисленное значение в форме числа с плавающей точкой, имеющего n цифр после десятичной точки;

  • evalhf(выражение) – вычисляет выражение и возвращает вычисленное значение с точностью, присущей данной компьютерной системе;

  • evalm(матричное выражение) – вычисляет значение матричного выражения и возвращает его;

  • evalb(логическое условие) – вычисляет значение логических условий;

  • evalc(комплексное выражение) – вычисляет значение комплексного выражения;

  • shake(выражение, амплитуда) – вычисляет интервальное выражение.


Примеры:

> evalf(sin(1));

0.8414709848

> evalb(1<3);



true
Последовательность выражений – это ряд выражений, разделенных запятыми и завершенных фиксатором:

>1,2+3,a-b,sin(1.0);

1, 5, ab, 0.8414709848

Для автоматического формирования последовательности выражений применим специальный оператор $, после которого можно указывать число выражений или задавать диапазон формирования выражений:


>f$5;

f, f, f, f, f

>$1..6;


1, 2, 3, 4, 5, 6

>(i^2+1)$i=1..5;

2, 5, 10, 17, 26

>V[i]$i=1..5;



V[1], V[2], V[3], V[4], V[5]
Для создания последовательности выражений можно использовать функцию seq:
>seq(2*sin(x/10.0),x=0..5);

0, 0.1997, 0.3973, 0.5910, 0.7788, 0.9589

>seq(f(1),f=[sin,cos,tan]);

sin(1), cos(1), tan(1)

>seq(f(1.0),f=[sin,cos,tan]);

0.8415, 0.5403, 1.5574



Типы данных
Числа и числовые константы. Maple работает с числами следующего типа:

  • целыми десятичными (0, 1, –123);

  • рациональными в виде отношений целых чисел (7/9, –123/27);

  • вещественными с мантиссой и порядком (1.23E5);

  • комплексными (2+3I). Мнимая единица обозначается I.

Функции Re(x) и Im(x) возвращают действительную и мнимую часть комплексных чисел.

Десятичная точка в числах имеет особый статус: указание её в любом месте числа, а также в конце, делает число вещественным и ведет к переводу вычислений в режим вычислений с вещественными числами. При этом количеством выводимых после десятичной точки цифр можно управлять с помощью значения системной переменной Digits:

>restart;

>2+3/4;


>2+3*4;


14

>1.0/3;


.3333333;

>Digits:=3;

>1.0/3;

.333;


>x:=2+7*I;

x:=2+7I;

>Re(x);


2

>Im(x);


7

Встроенные константы:

  • false, true – ложно, истинно;

  • gamma – константа Эйлера, равная 0.5772156649…;

  • infinity – положительная бесконечность (отрицательная задается как –infinity);

  • Catalan – константа Каталана, равная 0.915965594…;

  • I – мнимая единица;

  • Pi – 3.141….

В список не входит основание натурального логарифма – число e. В качестве этой константы можно использовать exp(1). Оно отображается как жирная прямая буква e. А exp(1.0) выводит 2.71828….



Контроль за числами и константами. Числа могут служить объектами ввода, вывода и константами, входящими в математические выражения. Функция

type(x,numeric)

позволяет выяснить, является ли x числовой константой. Если да, то функция возвращает логическое значение true, если нет – false.

>type(10,numeric);



true

>type(Pi,numeric);



true

>type(x^3,numeric);



false

Функции

type(x,integer)

type(x,racional)

type(x,fraction)

можно использовать для оценки того, имеет ли x значение целого, рационального числа или простой дроби.

Функции

type(x,constant)

type(x,realcons)

возвращают значение true, если x представляет целочисленную или вещественную константу, и false в противном случае.



Преобразование чисел с разными основаниями. Возможна работы с числами, имеющими различное основание (base), бинарными числами (основание 2 – binary), восьмеричными (основание 8 – octal), шестнадцатеричными (основание 16 – hex). Функция convert позволяет преобразовывать форматы чисел:

>x:=12345;



x:=12345

>b:=convert(x,binary);



b:=11000000111001

>o:=convert(x,octal);



o:=30071

>h:=convert(x,hex);



h:=3039

Строковые данные – это последовательности символов, заключенные в обратные апострофы. Два апострофа подряд формируют апостроф как знак символьной строки.

>`2+2 не всегда ``четыре```;

2+2 не всегда ‘четыре’

Вектора и матрицы. Для создания векторов и матрицы служит функция array:


  • array[i1..i2,s1] – возвращает вектор с индексами от i1 до i2 и значениями в одномерном списке s1;

  • array[i1..i2,j1..j2,s2] – возвращает матрицу с номерами строк от i1 до i2, столбцов от j1 до j2 и значениями в двумерном списке s2.

Следует отличать списки от массивов! Массивы создаются с помощью функции array и являются отдельным типом данных.

>array(1..3,[x,y,x+y]);

[x, y, x+y]

>array(1..2,1..2,[[a,b],[c,d]]);



Таблицы задают множественные данные с произвольной индексацией. Для создания таблиц служит функция table, которая в простейшем виде table() создает шаблон пустой таблицы:

>table();

table([]);



Переменные. Переменные – это объекты, значения которых могут изменяться по ходу выполнения документа. Тип переменных определяется присвоенным им значением. Для явного указания типа переменных используется конструкция:

имя_переменной::тип

Типы переменных:


  • integer – целочисленные;

  • racional – рациональные;

  • real – вещественные;

  • complex – комплексные;

  • float – вещественные с плавающей точкой;

  • string – строчные;

  • nonneg – значение >=0.

Имена переменных должны начинаться с буквы. Строчные и прописные буквы различаются между собой.

По умолчанию любые переменные рассматриваются как объекты символьного типа. Не требуется предварительное описание переменных. Для присваивания переменным конкретных значений используется оператор присваивания (:=).

Для отмены присваивания значений всем переменным используется команда restart;

>x:=10;


x:=10

>2*x^2;


>restart;

>x;


x

>2*x^2;


Переменные могут иметь определенные признаки, например принимать только положительные значения и т.д. Для придания переменным статуса предполагаемых используется оператор assume:

assume(переменная или выражение, свойство)

>assume(x,positive);

>x;

x

Переменная помечена как положительная и при выводе сопровождается знаком тильды. Для того, чтобы к имеющимся признакам добавить новые, используется функция additionally:

>additionally(a<=0);

Для получения информации о статусе переменной используется функция about:

about(переменная)
1.4. Операторы и операнды
Имеется 5 типов операторов:


  • binary – бинарные операторы (с двумя операндами),

  • unary – унарные операторы (с одним операндом),

  • nullary – нульарные операторы (без операнда, знаки %),

  • precedence – операторы старшинства (включая логические операторы),

  • functional – функциональные операторы.

Для просмотра операторов и их свойств используется команда:

>?operators[тип оператора]



Бинарные операторы: + (сложение), – (вычитание), * (умножение), / (деление), ** или ^ (возведение в степень), $ (оператор последовательности), @ (оператора композиции), .. (задание интервала), &* (некоммутативное умножение), \ (объединение), mod (деление по модулю), @@ (повторение композиции), := (присваивание), , (разделитель выражений), &string (нейтральный оператор).

Оператор композиции @@ может использоваться для создания сложных функций, содержащих цепные дроби:

>f:=a->1/(1+a);(f@@3)(a);

Операторы объединения, пересечения и исключения для множеств:



  • union – объединение множеств,

  • intersect – пересечение множеств,

  • minus – разность множеств.

>{a,a,b,c,c,d}union{e,e,f,g}

{a, b, c, d, e, f, g}

>{a,a,b,c,c,d}union{e,e,a,d,f,g}

{a, d}

>{a,a,b,c,c,g}minus{c,c,f,g}

{a, b}

Унарные арифметические операторы:

+ – унарный плюс,

! – факториал,

$ – последовательность (префикс),

% – метка (префикс),

– – унарный минус,

. – десятичная точка,

not – логическое отрицание.



Логические операторы: <, <=, >, >=, <>, =, and, or. Для возврата логических значений выражений этими операторами используется функция

evalb(условие)

>evalb(2=2 and 3>1);

true

Специальные типы операторов: неопределенные (f), нейтральные (&), процедурные, функциональные, композиционные (@).

Оператор относится к неопределенным, если он не был заранее определен. Такой оператор не выполняет никаких действий и просто повторяется в строке вывода:

>f(1,2,a);

f(1,2,a)

Функциональные операторы являются альтернативами функций и записываются в форме:

переменная –> результат

Они могут использоваться для реализации подстановок. Например, запись x->x^2 означает подстановку x^2 на место переменной x.

Для создания нейтральных операторов, определенных пользователем, служит знак амперсанда &. Формат задания нейтрального оператора:

&name

Математические функции:


  • целочисленные функции и факториал:

factorial(число) – факториал

iquo(a,b) – частное a/b

irem(a,b) – остаток для a/b

Icm(a,b) – наименьшее общее кратное,

igcd(a,b) – наибольший общий делитель;


  • тригонометрические функции:

sin(x) – синус, cos(x) – косинус, sec(x) – секанс,

csc(x) – косеканс, tan(x) – тангенс, cot(x) – котангенс;



  • обратные тригонометрические функции:

arcsin(x) – арксинус, arccos(x) – арккосинус,

arcsec(x) – арксеканс, arccsc(x) – арккосеканс,

arctan(x) – арктангенс, arccot(x) – арккотангенс;


  • гиперболические функции:

sinh(x) – гиперболический синус,

cosh(x) – гиперболический косинус,

sech(x) – гиперболический секанс,

csch(x) – гиперболический косеканс,

tanh(x) – гиперболический тангенс,

coth(x) – гиперболический котангенс;



  • обратные гиперболические функции:

asrsinh(x) – гиперболический арксинус,

asrcosh(x) – гиперболический арккосинус,

asrsech(x) – гиперболический арксеканс,

asrcsch(x) – гиперболический арккосеканс,

asrtanh(x) – гиперболический арктангенс,

asrcoth(x) – гиперболический арккотангенс;



  • алгебраические функции:

exp(x) – экспонента,

ilog10(x) – целочисленный десятичный логарифм,

ilog(x) – целочисленный логарифм,

ln(x) –натуральный логарифм,

log[основание](x) – логарифм по заданному основанию,

log10(x) – десятичный логарифм,

sqrt(x) – квадратный корень;


  • функции с элементами сравнения:

ceil(x) – наименьшее целое, большее или равное x,

floor(x) – наибольшее целое, меньшее или равное x,

frac(x) – дробная часть числа,

trunc(x) – меньшее целое, округленное в направлении x=0,

round(x) – округленное значение числа,

signum(x) – функция знака;



  • функции комплексного аргумента:

abs(x) – модуль числа,

argument(x) – аргумент комплексного числа,

conjugate(x) – комплексно-сопряженное число,

Im(x) – мнимая часть комплексного числа,

Re(x) – действительная часть комплексного числа,

polar(x) – полярное представление комплексного числа,



max(x) – максимальный элемент списка,

min(x) – минимальный элемент списка.



©netref.ru 2017
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет