Механика, математика, модельдеу



жүктеу 107.33 Kb.
Дата28.04.2016
өлшемі107.33 Kb.

АХМЕТ ЯСАУИ УНИВЕРСИТЕТІНІҢ ХАБАРШЫСЫ, №2, 2013

МЕХАНИКА, МАТЕМАТИКА, МОДЕЛЬДЕУ

ӘОЖ 531
М.Ж.ЖҰМАБАЕВ

физика-математика ғылымдарының докторы, профессор

Қ.А.Ясауи атындағы ХҚТУ


Г.С.ТІЛЕСОВА

Қ.А.Ясауи атындағы ХҚТУ-нің магистранты


ЦИЛИНДРЛІК ДЕНЕЛЕРДІҢ ОСЕСИММЕТРИЯЛЫҚ ЕСЕБІ
Температуралық өрісте орналасқан осесимметриялық құрылғылардағы пайда болатын температуралық кернеулерді анықтау алгоритмі құрылған. Алгоритм көмегімен құрылғы қасиеті физикалық сызықты емес заңдылықпен өзгергенде пайда болған кернеулік-деформациялық күй анықталады. Жылжу модулі әр түрлі температура деңгейінде алынған созу диаграммасынан, ал Пуассон коэффициенті және температуралық ұлғаю коэффициенті эксперимент нәтижесінде алынған графиктерден анықталады. Есеп жазық деформация және жазық кернеулі күй жағдайлары үшін шешілген. Алынған сандық нәтижелер график түрінде беріліп, талдау жүргізілген.
Кілт сөздер: өріс, кернеу, температура, осесимметрия, цилиндр, Пуассон коэффициенті, жылжу модулі, температуралық ұлғаю коэффициенті, созу диаграммасы, дифференциалдық теңдеу, деформация, алгоритм.
Температуралық өріс әсерінде жұмыс жасайтын цилиндр формалы құрылғылардың кернеулік-деформациялық күйін анықтағанда температуралық кернеуді ескеру қажеттігі туындайды [1-9]. Сондықтан, температуралық өрісте орналасқан құрылғыларда пайда болатын термосерпімділік кернеулерді есептеуге мүмкіндік беретін әдістер мен алгоритмдер құру қызығушылық туғызады. Құрылғы қасиеттерінің температураға тәуелділігін эксперимент нәтижесінде алынған қисықтар бойынша ескеретін болса, онда есептің аналитикалық шешімін алуда математикалық қиындықтар кездеседі. Бұл жағдайда, құрылғы материалдар қасиеттерінің температураға тәуелділігін, эксперименттік сандық сипаттамаларын пайдалана отырып есепті шешудің сандық алгоритмдерін жасау қажеттігі пайда болады. Термосерпімді кернеу тензорын анықтаудың төмендегідей эксперименттік жолдары белгілі. Олар: 1) Дюгамель және Нейман ұқсастығына негізделген әдіс; 2) В.М. Майзель ұсынған әдіс; 3) Н.И. Мусхелишвили ұсынған әдіс; 4) Әртүрлі материалдардан дайындалған, қыздырылған және қыздырылмаған денелер арасындағы кернеулерді

АХМЕТ ЯСАУИ УНИВЕРСИТЕТІНІҢ ХАБАРШЫСЫ, №2, 2013

салыстыру әдісі [4-9]. Құрылғы деформациясы сызықты емес болуы мүмкін. Төменде цилиндр формалы денелердің, физикалық сызықты емес қасиеті ескеріле отырып, кернеулік-деформациялық күйін анықтаудың сандық алгоритмі ұсынылған.

Цилиндрдің ішкі радиусы және сыртқы радиусы . Цилиндр осесимметриялық температуралық өрісте орналасқан, яғни . Пуассон коэффициенті  температуралық ұлғаю коэффициенті  температура деңгейіне тәуелді:

 (1)

Функциялар (1) эксперимент нәтижесінде анықталады (сурет 1). Жылжу модулі µ, әртүрлі температура мәніне байланысты алынған созу диаграммаларынан анықталады (сурет 2) [10].

Тепе-теңдіктің дифференциалдық теңдеуі [1]

 (2)

Мұнда  кернеу тензорының радиальдық құраушысы,  кернеу тензорының дөңгелектік құраушысы.

Деформация тензорының құраушылары және радиальдық орын ауыстыру құраушысы , төмендегіше байланысқан:

 (3)

Кернеу девиатор құраушылары  деформация девиаторы құраушылары  төмендегіше байланысқан [1]:





 (4)

Мұнда қиюшы серпімділік модулі,  .

Келесі өлшемсіз параметрлер енгізілген:

 (5)



АХМЕТ ЯСАУИ УНИВЕРСИТЕТІНІҢ ХАБАРШЫСЫ, №2, 2013

Мұнда жылжу модулі  мәндері қалыпты температурада анықталған   мәндеріне сәйкес келеді. Жазуға ыңғайлы болу үшін өлшемсіз шамалар үстіндегі сызықша алып тасталынады.

Теңдеулер (1)-(4)-терді

 (6)

дифференциалдық теңдеулер жүйесі және



 (7)

алгебралық қатынастарға келтіруге болады. Мұнда

А матрицасының және векторының құраушылары және  коэффициенттері төмендегі теңдіктермен



 (8)



, 

жазық деформация жағдайында, ал





 (9)

 

жазық кернеу күйінде анықталады. Мұнда .

Сонда, полярлық-осесимметриялық күйде орналасқан термосерпімді цилиндр формалы денелердің кернеулік-деформациялық күй есебін шешу үшін айнымалы коэффициентті дифференциалдық теңдеулер жүйесі (6) алынды.

Цилиндрдің ішкі  және сыртқы  беттерінде әртүрлі шекаралық шарттар беріледі. Мүмкін болатын барлық шекаралық шарттарды


,  (10)

АХМЕТ ЯСАУИ УНИВЕРСИТЕТІНІҢ ХАБАРШЫСЫ, №2, 2013

түрінде жазуға болады. Мұнда вектор  құраушылары – радиальдық орын ауыстыру және кернеу. Егер (10)-да ,  болса, онда цилиндрдің ішкі беті  кернеуден бос, ал сыртқы беті қатты бекітілген шекаралық шарттарды көрсетеді. Есеп шартына сәйкес  векторларының құраушылары және  параметрлерінің мәндері анықталып беріледі.

Сонымен, цилиндрдің термосерпімділік есебін шешу, (10) шекаралық шарттарды қанағаттандыратын, (6) айнымалы коэффициентті дифференциалдық теңдеулер жүйесін, яғни шеттік есепті шешуге алып келеді. Енді осы шеттік есепті шешу алгоритмін қарастырайық.

Алынған дифференциалдық теңдеулер жүйесінің шешімі, екі сызықтық-тәуелсіз шешімдердің суперпозициясы түрінде анықталады. Цилиндр қалыңдығы өзара тең  кесінділерге бөлінеді. Сонда , мұнда . Әрбір кесінді ұштарындағы температура мәні ескеріле отырып, температура кесіндіде сызықтық түрде орналасқан деп есептелінеді. Әртүрлі температура деңгейіне сәйкес берілген  созу диаграммаларынан, анықталған температура деңгейіне сәйкес  қисығы тұрғызылады. Осы процесс төмендегіше жүргізіледі. T температурасының деңгейіне сәйкес, эксперименталды  температураларына сәйкес салынған созу диаграммалары анықталынады. Мұнда  шарты орындалуы тиіс. Сызықтық аппроксимациялау



 (11)

арқылы  тұрақты мәні үшін, Т температурасына сәйкес келетін  кернеудің мәні табылады. Осындай амалдар жүргізу нәтижесінде Т температурасының деңгейіне сәйкес келетін  диаграммасы алынады. Осы созу диаграммасынан жылжу модулі  анықталады, ал экспериментальды сызықтардан, Т температура деңгейіне сәйкес Пуассон коэффициенті мен температуралық ұлғаю коэффициенттері анықталады. Табылған µ,  коэффициенттерінің көмегімен, А матрицасының,  векторының құраушылары және  коэффициенттері анықталады. Нәтижесінде (6) дифференциалдық теңдеулер жүйесінің, (7) алгебралық қатынастардың коэффициенттері тұрақты мәндер қабылдайды. Дифференциалдық теңдеулер жүйесі Рунге-Кутта әдісімен шешіледі [11]. Мұнда цилиндрдің ішкі бетінде екі сызықтық тәуелсіз шарттар үшін дифференциалдық теңдеулер жүйесі екі рет

сандық әдіспен шешіледі. Нәтижесінде екі сызықтық-тәуелсіз шешім  алынады. Сонда теңдеулер жүйесінің жалпы шешімі 

АХМЕТ ЯСАУИ УНИВЕРСИТЕТІНІҢ ХАБАРШЫСЫ, №2, 2013

түрінде алынады. Мұндағы  тұрақтылары шекаралық шарттардан анықталады. Анықталған кернеулік-деформациялық күй, жылжу модуліне сәйкес есептелінеді. Ал  модулі, Т температурасына сәйкес тұрғызылған  қисығынан табылған. Цилиндр материалын сипаттайтын сызықтар: Суретте 1 - сызық –  2 – сызық -  3 – сызық - 4 – сызық -  , 5 – сызық -  температуралары деңгейлеріне сәйкес эксперимент нәтижесінде алынған.Есептеу нәтижесінде алынған кернеу мен деформация тензорларының құраушыларын ескере отырып





есептелінеді. Мұнда  кернеу интенсивтілігі,  деформация интенсивтілігі. Мына  қатынастарын пайдаланып қисығынан  сәйкес келетін  табылады. Табылған  есептеу нәтижесінде алынған  кернеу интенсивтілігімен салыстырылады. Егер ол мәндер өзара сәйкес келетін болса, онда серпімділіктің айнымалы параметрлер әдісі бойынша, шешім алынды деп есептелінеді [12]. Егер олар өзара сәйкес келмесе, онда жаңа параметр  есептелініп, жаңа жылжу модулі  тауып есеп қайтадан шешіледі. Бұл кезеңде созу диаграммасы, Пуассон коэффициенті  және сызықтық ұлғаю коэффициенті , ағымдық температура деңгейіне сәйкес болуы тиіс. Есептеу нәтижесінде алынған  және эксперименттік түрде алынған  мәндері сәйкестенгенше, есептеу алгоритмі циклдық түрде орындалады.

Есеп жазық деформация және жазық кернеулік күй жағдайлары үшін шешілген. Есепті шешуде төмендегідей жағдайлар қарастырылды: 1) Цилиндр материалының қасиеті температура деңгейіне тәуелді емес. Бұл жағдайда алынған қисықтар 1 арқылы белгіленді; 2) Тек қана жылжу модулі температураға тәуелді деп есептегенде алынған қисықтар 2 арқылы белгіленді; 3) Жылжу модулі және Пуассон коэффициенті температура деңгейіне тәуелді деп есептегенде алынған қисықтар 3 арқылы белгіленді; 4) Жылжу модулі және сызықтық ұлғаю коэффициенті температура деңгейіне тәуелді деп есептегенде алынған қисықтар 4 арқылы белгіленді; 5)Жылжу модулі, Пуассон және сызықтық ұлғаю коэффициенттері температура деңгейіне тәуелді десек, жылжу модулі  созу диаграммасынан, ал Пуассон және сызықтық ұлғаю коэффициенттері  эксперименталды тұрғызылған қисықтардан анықталады. Бұл жағдайда алынған сызықтар 5 арқылы белгіленген.

АХМЕТ ЯСАУИ УНИВЕРСИТЕТІНІҢ ХАБАРШЫСЫ, №2, 2013

Цилиндр қалыңдығындағы радиалдық кернеу компоненттерінің өзгеруі және сақиналық кернеу компоненттерінің өзгеруі 3, 4 суреттерде көрсетілген. Алынған сандық нәтижелерді талдасақ, жылжу модулінің деформациялық күйге әсері аз, ал кернеулік күйге әсерінің үлкен екендігі көрініп тұр. Әр типтегі шекаралық шарттар және қасиеттері температураға тәуелді әртүрлі материалдар үшін де, құрылған алгоритмді пайдалана отырып талдау жұмыстарын жүргізуге болады. Құрылған сандық-аналитикалық әдіс физикалық сызықты емес заңдылыққа бағынатын термосерпімді цилиндрлік денелердегі цилиндр қалыңдығы бойынша температура кез-келген заңдылықпен орналасқан жағдайда, кернеулік-деформациялық күйді бағалауға, талдауға және нәтижелер бойынша ұсыныстар жасауға мүмкіндік береді.


ӘДЕБИЕТТЕР


  1. Макаров Б.В. Основы математической теории упругости. – М.: МГОУ, 2007. – 240 с.

  2. Бородаев Н.М. О задачах термоупругости в напряжениях. //Прикладная механика, – 2005, в.41. – №3. – 46-54 С.

  3. Прокопенко Ю.А. Математическое моделирование термически нагруженных двухслойных цилиндров. //Вестник ТГТУ. – 2009, 15. – №4. – 806-813 –с.

  4. Рассказов А.О., Бабков А.В., Ивченко Ю.В. Термоупругое равновесие бесконечного многослойного цилиндра со свойствами зависимыми от температуры. - Композиционные материалы в конструкциях глубоководных технических средств. Тезисы докл. межвузов. науч. - техн. конференции. – Николаев. – 1991. – с.114-115.

  5. Thermoelastic problems of multilayered cylinders. / Birman Victor/ intersoc. conf. Therm. Phenomena Electron. Syst. Las.Begas, Wen. May 23-257 1990,1 - IHERM H: Proc 7- New-York (N.Y.) 1990. – C. 33-39.

  6. Литвинов А.Н. Термоупругие напряжения в круглых многослойных упругих элементах. // Новые промышленные технологии. – 2000. – №5. – С.39-44.

  7. Мусабаев Т.Т., Каримов Т.К. О влиянии коэффициента Пуассона на напряжение в неоднородном цилиндре. //Стр.механика и расчет сооружений, 2010, №6. – С.20-21.

  8. Нестеренко А.Ф., Васильев Е.А. Напряженно-деформированное состояние неравномерно нагретых толстостенных труб и оценка их длительной прочности. //Вестник Гос.техн.ун-та, 2008, №19. – С.59-63

  9. Огарков В.Б., Мильцин А.Н. Термопрочность полого упругого цилиндра. Математическое моделирование, компьютерная оптимизация технологии, параметров оборудования и систем управления. /Межвузов. сб. науч. тр., вып.14. – Воронеж: ВорГТЛА, 2009. – с. 45-47

  10. Композиционные материалы. Справочник / под.ред. В.В.Василова и др. – М.: Машиностроение, 1990. – 512 с.

  11. Бахвалов Н.С. Численные методы. – М.: Наука, 1973. – 631с.

  12. Ильюшин А.А. Огибалов П.М. Упругопластические деформации полых цилиндров. – М.: МГУ, 1960. – 230 с.




АХМЕТ ЯСАУИ УНИВЕРСИТЕТІНІҢ ХАБАРШЫСЫ, №2, 2013


РЕЗЮМЕ

Разработан алгоритм определения температурных напряжений в цилиндрических телах. При этом свойства материала тела, считаются зависящими от уровня температуры. Решена физически нелинейная задача.



(Жумабаев М.Ж, Тилесова Г.С. Осесимметричная задача цилиндрических тел)
SUMMARY

The algorithm of determination of thermal stresses in the cylindrical bodies are exploited. Thus the properties of the material body is considered to be dependent on the temperature level. Physically nonlinear problem is solved.



(Zhumabaev M.Zh., Tilesova G.S. The problem of asymmetric of cylindrical bodies)



1-сурет 2- сурет 3-сурет 4-сурет


©netref.ru 2016
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет