Многоаспектные векторные логики



Дата02.05.2016
өлшемі155.99 Kb.
МНОГОАСПЕКТНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ЛОГИКИ

Аршинский Л.В.

Восточно-Сибирский институт МВД России


Россия, 664074, Иркутск, Лермонтова ул., 110

e-mail: larsh@mail.ru

1. ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ


В серии докладов на SICPRO'04 – SICPRO'07 [1-4], автором были изложены некоторые результаты в области логик с векторной семантикой. В основу таких логик было положено представление истинности суждений вектором с компонентами (аспектами истинности Истина; Ложь значения компонентов принадлежат отрезку [0, 1]). Основанные на этом логики были названы VTF-логиками. В предлагаемом докладе рассматривается обобщение этой идеи, когда число аспектов истинности произвольно, а их содержательный смысл (как, например, Истина и Ложь в VTF-логиках) не оговаривается. Как оказалось, многое из того, что было предложено для VTF-логик может быть перенесено и на этот более общий случай. Однако возникают и свои особенности.

Логики с произвольным числом аспектов истинности назовем многоаспектными векторными логиками, или, сокращенно, Vn-логиками.

Для начала обратим внимание на следующий момент: каковы бы ни были аспекты истинности в произвольной многаспектной логике, все они могут быть разделены на два класса. В первом случае истинность, выраженная вектором , предпочтительнее истинности , если , Во втором,  если . В каком смысле можно говорить о предпочтении здесь не уточняем, а просто обратим внимание, что рост (убывание) аспектов первого и второго типа влияют на истинность взаимно противоположным образом (пример – аспекты Истина и Ложь). Аспекты первого типа назовем позитивными, а второго негативными. Чтобы различать их между собой будем пользоваться символами «+» и «» соответственно. При этом в отличие VTF-логик, где аспектов всего два, и для них определены позиции в векторе, в Vn-логиках возникает необходимость явно указать характер аспектов (позитивный/негативный). Поэтому символы + и целесообразно применять не только в буквенной, но и в числовой записи векторов истинности (например ). Однако предлагается вначале указывать позитивные, а затем негативные компоненты. Такую запись назовем нормальной формой вектора истинности:

.

Далее введем полезные понятия логического инфинума (linf ) и логического супремума (lsup ). Обозначим множество значений i-го аспекта истинности n­-аспектной векторной логики символом  i,а все множество возможных значений вектора истинности как . В качестве  i примем отрезок [0,1].



Определение 1. Логическим инфинумом i -го аспекта истинности назовем наибольшую нижнюю границу множества  i, если этот аспект позитивный и наименьшую верхнюю границу, если он негативный.

Обозначать его будем как linfi. Если соответствующая граничная точка принадлежит упомянутому множеству (как в нашем случае), то linfi можно назвать также логическим минимумом.



Определение 2. Логическим супремумом -го аспекта истинности назовем наименьшую верхнюю границу множества  i, если этот аспект позитивный и наибольшую нижнюю границу, если он негативный.

Обозначать его будем как lsupi. Если граничная точка принадлежит упомянутому множеству, lsupi назовем также логическим максимумом.

Если l i=[0,1] и i -ый аспект позитивный, то linfi=0, lsupi=1. Для негативного аспекта наоборот: linfi=1, lsupi=0.

Пользуясь linf и lsup можно обобщить некоторые понятия из VTF-логик.



Определение 3. Суждение a некоторой Vn-логики назовем предельным, если каждый компонент его вектора истинности равен linf либо lsup.

Для Vn-логики, в которой все l i=[0,1], предельными будут векторы , и так далее до .



Определение 4. Суждение a некоторой Vn-логики назовем максимальным, если его вектор истинности такой, что

,

и минимальным, если



.

Оба этих суждения предельны.

Понятия максимального и минимального суждений служат обобщением понятий истинного и ложного суждения в классической логике, и строго истинного и строго ложного – в логиках VTF.

2. ЧИСТОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СУЖДЕНИЙ


Обобщим числовые характеристики суждений, введенные для Vn-логик. Это меры определенности, противоречия, строгости и достоверности. Способ их вычисления, наименование, и сам смысл в логиках VTF определялись интерпретацией аспектов истинности как Истины и Лжи. Сейчас введение подобных характеристик является более сложной задачей, ибо заранее не оговаривается ни количество аспектов, ни их смысл, поэтому сначала введем ряд предварительных понятий.

Определение 5. Максимальной позитивной и максимальной негативной проекциями вектора истинности ||a|| назовем числа

и.

Определение 6. Минимальной позитивной и минимальной негативной проекциями вектора ||a|| назовем числа

и.

Здесь и – операции композиционного умножения и сложения – подкласс триангулярных конормы и нормы, удовлетворяющих, соответственно, аксиомам:



;

; ;

при ; при ;

;;

;.

Сложение и умножение производятся по всем позитивным и всем негативным аспектам.

Отметим некоторые свойства введенных проекций.

В силу свойств композиционного сложения и умножения для обоих видов проекций справедливо:



(для краткости записи, совпадающие по структуре и смыслу выражения для позитивных и негативных аспектов, объединяем). Данные соотношения и обусловили принятые названия. Выполняются соотношения: и . Помимо максимальной и минимальной проекций удобно ввести еще среднепозитивную и средненегативную проекции:



,

где А + и А множества позитивных и негативных аспектов вектора ||a||, N(А+) и N(А)  количество соответствующих аспектов. Смысл данных числовых характеристик вполне очевиден. Очевидно также, что



.

Как для максимальной и минимальной проекций, для средних проекций справедливы свойства: .

Минимальная и максимальная проекции определяют нижнюю и верхнюю границы значений соответствующих аспектов истинности, а среднее – их усредненную величину («среднюю проекцию»).

Вышеперечисленные проекции будут использованы при построении числовых мер для Vn-логик. С этой целью объединим некоторые из вышеперечисленных понятий в понятие характерной проекции. При этом будем рассматривать два основных случая.



А. Аспекты истинности являются взаимоисключающими в том смысле, что отличие от 0 хотя бы одной пары их значений расценивается как противоречие (подобная ситуация может быть обусловлена разноречивостью данных; пример – аспекты Истина или Ложь в VTF-логиках).

Б. Аспекты истинности не являются взаимоисключающими. Однако под противоречием можно понимать отличие от 0 хотя бы одного позитивного и одного негативного аспекта истинности т.к. они, по определению, влияют на истинность взаимно противоположным образом.

Определение 7. Характерной (характерной позитивной, характерной негативной) проекцией назовем максимальную (максимальную позитивную, максимальную негативную) проекцию, если аспекты истинности взаимоисключающие и среднюю (среднепозитивную, средненегативную) проекцию, если они таковыми не являются.

Характерную позитивную и характерную негативную проекции будем обозначать как и . На их основе можно ввести для Vn-логик специальную форму вектора истинности, аналогичную вектору истинности для VTF-логик.



Определение 8. Приведенной формой вектора истинности ||a|| называется вектор

.

Приведенная форма позволяет провести аналогию с VTF-логиками, и отчасти воспользоваться полученными там результатами. В частности, можно обобщить меру определенности, рассматривая ее в Vn-логиках как число



(1)

Пример, случай А. Для вектора и получаем и . Отсюда следует: и (здесь и далее для простоты считаем и ).

Пример, случай Б. Для таких же векторов и получаем и . Откуда следует, что и .

Перейдем к обобщению меры противоречия, для случаев А и Б.



Случай А. Если противоречием следует считать наличие хотя бы одной пары аспектов отличных от нуля, то рост меры противоречия следует связывать с увеличением числа таких пар и ростом значений самих аспектов. Поэтому в качестве подходящей формулы для вычисления данной меры можно предложить следующую:

,

где P – множество всех пар компонентов вектора ||a|| таких, что i j, а N(P) – число таких пар. Поскольку N(P) равно числу сочетаний из n элементов по два, в более развернутой форме данное выражение примет вид:



, (2)

где n – число аспектов вектора истинности. Для двухаспектной логики, например логики VTF, формула (2) даст знакомую конструкцию [1]:



.

Для трехаспектной логики это будет



.

Пример, случай А. Для векторов и получаем следующие значения данных числовых мер:

, и .

Случай Б. Если все аспекты только позитивные либо только негативные понятие противоречия лишено смысла. Однако при наличии как позитивных, так и негативных аспектов, с учетом комментария понятию противоречия для случая Б, искомую меру можно вычислять по формуле:

(3)

Иначе говоря, суждение противоречиво настолько, насколько информационно подкреплены как позитивные, так и негативные аспекты.



Пример, случай Б. Для векторов и имеем: , и .

Легко видеть, что в случае Б при таком определении меры противоречия равна 0, если вектор истинности содержит только позитивные либо только негативные аспекты.



Мера строгости в VTF-логиках определялась как разность мер определенности и противоречия [1]. Эту точку зрения целесообразно сохранить и здесь. Таким образом, имеем:

.

Пример, случай А. Если и , то , и .

Пример, случай Б. Если и , то , и .

Наконец, меру достоверности для Vn-логик как в случае А, так и в случае Б будем вычислять по формуле:



.

Это выражение – обобщение меры достоверности в VTF-логиках [1].



Пример, случай А. Если и , то , и .

Пример, случай Б. Для векторов и получаем: , и .

3. СРАВНЕНИЕ СУЖДЕНИЙ


Рассмотрим вопрос упорядочения суждений в Vn-логиках.

Определение 9. Будем говорить, что значение i-го аспекта истинности вектора логически меньше или равно значению этого же аспекта для вектора , если , когда данный аспект позитивный и , когда он негативный.

Обозначать отношение логического порядка будем как



, или как .

Помимо логического, для аспектов векторов истинности можно ввести также информационный порядок, который есть не что иное, как обычный числовой порядок между ними. Информационным он является по сути, поскольку чем большее значение имеет тот или иной аспект, тем более сильные свидетельства поступили в его пользу. Возможность существования в логиках двух этих порядков: логического и информационного отмечен еще для логики Данна, значениями истинности в которой являются все подмножества множества {Истина, Ложь} [5]. Поскольку информационный порядок для аспектов истинности не отличим от числового, специальные обозначения для него не вводим, а пользуемся обычными отношениями ≤ и ≥. Основываясь на этих понятиях, обобщим рассмотренные в VTF-логиках отношения правдоподобия и доминирования на случай Vn-логик.



Определение 10. Будем говорить, что суждение a не слабее суждения b (a доминирует над b), если

,

т.е., если все аспекты вектора ||a|| не меньше соответствующих аспектов вектора ||b|| в обычном «арифметическом» смысле.



Определение 11. Будем говорить, что суждение a не менее правдоподобно, чем суждение b, если

,

т.е., если все аспекты вектора ||a|| не меньше соответствующих аспектов вектора ||b|| в «логическом» смысле.

Как и в VTF-логиках, будем называть данные отношения отношениями доминирования и правдоподобия и обозначать их, соответственно, как и .

Пример. В качестве примера рассмотрим три трехаспектных вектора:, и . Согласно определениям, и .

Очевидно, что в отличие от VTF-логик, где каждая пара векторов истинности следует отношению правдоподобия или доминирования, в произвольной Vn-логике ситуация не столь определенна. Здесь возможны случаи, когда пара векторов не отвечает ни тому, ни другому отношению (например, , . Однако вряд ли необходимо для каждого такого случая придумывать особое название. Правдоподобие и доминирование получили специальные названия лишь потому, что отражают самые характерные из возможных ситуаций, причем имеющие достаточно явную смысловую интерпретацию. Тем не менее, не исключена возможность того, что в каких-то логиках будут представлять интерес и другие комбинации преобладания/отставания в аспектах истинности. Также можно вводить порядок на основе различных числовых показателей (мер) суждений, как это делается в VTF-логиках.


4. СЛОЖНЫЕ СУЖДЕНИЯ


Перейдем к вопросу формирования сложных суждений в многоаспектных векторных логиках. Как и в проблеме упорядочения, мы не станем исследовать все возможные случаи соответствующих связок, которых при различных сочетаниях композиционного сложения и умножения по различным аспектам истинности можно придумать довольно много, а попытаемся обобщить первую и вторую формы конъюнкции и дизъюнкции, а также обсудим связку отрицания. Тем более что эти операции имеют достаточно ясный содержательный смысл.

Определение 12. Первой формой дизъюнкции двух суждений a и b в n-аспектной векторной логике назовем суждение c, значения аспектов истинности которого определяется по правилу:



Определение 13. Второй формой дизъюнкции двух суждений a и b в n-аспектной векторной логике назовем суждение c, значения аспектов истинности которого определяется по правилу:

для всех аспектов вектора истинности.



Определение 14. Первой формой конъюнкции двух суждений a и b в n-аспектной векторной логике назовем суждение c, значения аспектов истинности которого определяется по правилу:



Определение 15. Второй формой конъюнкции двух суждений a и b в n-аспектной векторной логике назовем суждение c, истинность которого определяется по правилу:

для всех аспектов вектора истинности.

Очевидно, что при переходе к VTF-логикам мы получаем обычную первую и вторую формы дизъюнкции и конъюнкции. Обозначать данные операции будем так же, как и в VTF-логиках: – для первой формы дизъюнкции; – для второй формы дизъюнкции; – для первой формы конъюнкции; – для второй формы конъюнкции.

В силу коммутативности и ассоциативности операций композиционного сложения и композиционного умножения, обе формы дизъюнкции и конъюнкции также ассоциативны и коммутативны. Легко проверить также, что если данные операции сложения и умножения дистрибутивны по законам:



и ,

то первая форма дизъюнкции и конъюнкции дистрибутивны между собой. Аналогично и вторые формы дизъюнкции и конъюнкции. Дистрибутивность выполняется, например, если композиционное сложение и умножение задаются функциями:



и

В этом случае справедливо также и свойство идемпотентности:



; ; ; .

Обозначая максимальное и минимальное суждения, соответственно, буквами и и л, а полностью насыщенное (все компоненты вектора истинности равны единице) и неопределенное  символами п и н, с учетом того, что для позитивных аспектов истинности логический максимум и логический минимум равны, соответственно, 1 и 0, а для негативных наоборот  0 и 1, получаем следующие соотношения:



; ; ; ,

 для дизъюнкций и



; ; ; ,

 для конъюнкций. Т.е. л и и, а также н и п играют роль нуля и единицы для соответствующих форм конъюнкции и дизъюнкции.

Для логик, аспекты истинности которых только позитивны, первая и вторая форма дизъюнкции, а также первая и вторая форма конъюнкции совпадают между собой.

Легко удостовериться также, что для произвольных векторных логик, с введенными на них операциями дизъюнкции и конъюнкции в 1-й и 2-й форме, а также отношениями правдоподобия и доминирования, введенными согласно определениям 10 и 11, справедливы отношения:



(аналогично, );

(аналогично, );

;

и

(аналогично, );



(аналогично, );

,

подобные тем, что выполнялись для логик VTF.

Отрицания. В VTF-логиках существовало две формы отрицания: отрицание в форме перестановки (первая форма) и отрицания в форме дополнения (вторая форма)[1]. Обсудим возможность введения подобных же отрицаний в логиках Vn. Сначала разберем первую форму отрицания. Очевидно, что при перестановке местами значений компонентов истинности в векторе Истина; Ложь мы принимаем во внимание содержательный смысл данных аспектов: аспект Истина выражает совокупную силу всех факторов, подтверждающих суждение, аспект Ложь  опровергающих его. Именно знание содержательной стороны аспектов позволило вложить смысл и в операцию перестановки, объявив ее отрицанием. Однако в общем случае Vn-логик, когда мы сознательно абстрагируемся от содержательного смысла аспектов, такая перестановка обессмысливается. Это ограничивает сферу применимости первой формы отрицания для общего случая Vn-логик.

Еще одной формой отрицания VTF-логик является отрицание в форме дополнения: . Данное отрицание легко обобщается на многоаспектный случай:



(4)

и не вызывает вышеупомянутых проблем. Для него, в частности, по-прежнему сохраняются законы де Моргана для обеих форм конъюнкции и дизъюнкции:



;

;

;

.

Вторая форма отрицания – это отрицание в силу отсутствия свидетельств: мы отрицаем каждый аспект истинности настолько, насколько нам не хватает уверенности для его «безоговорочного принятия».


5. ЛОГИЧЕСКИЙ ВЫВОД


Вывод в многоаспектных логиках разберем на примере правил modus ponens и modus tollens.

Сначала рассмотрим правило modus ponens. Одна из его форм в VTF-логиках такова (правило С-МР [1]):



|- ,

где i = ab, - строгая истина; через двоеточие указана схема расчета истинности заключения. Запись означает, что значения аспекта Истина принадлежат интервалу , а значения аспекта Ложь – интервалу [1]. Это правило несложно обобщить на случай произвольного числа аспектов истинности. Обобщение имеет вид:



|- ,

Вектор здесь играет роль вектора И = 1; 0 в VTF-логиках.

Сложнее обстоит дело с обобщением правила С-МР2 [1]. Это связано с тем, что при его формулировке для VTF-логик используется отрицание в форме перестановки. Это своего рода «конструктивное» отрицание, если под конструктивностью понимать прямое обоснование значений всех аспектов истинности посредством соответствующих свидетельств. Выше говорилось, что для произвольных векторных логик, когда содержательный смысл аспектов истинности неизвестен, оно бессмысленно. Также бессмысленна и попытка построить правило С-МР2 на базе этого отрицания. Однако возможна формулировка С-МР2 на основе второй формы отрицания. Для VTF-логик оно имеет вид:

|- .

Точно таким же оно будет и для Vn-логик.

Аналогично и для правила modus tollens. Оно тоже может быть заранее выведено только для второй формы отрицания, причем как для С-МТ, так и для С-МТ2. Для С-МТ правило записывается как

|- .

Откуда


.

Для случая С-МТ2 получаем:



|- .

Отсюда:


.

Несколько слов следует сказать по поводу вывода на основе первой и второй форм отрицания. Вывод на основе первой формы учитывает данные, поступившие в пользу различных аспектов истинности, вывод на основе второй формы – возможное влияние отсутствующих данных. Это две различные методики (причем первая, как уже говорилось, проблематична для общего случая Vn-логик). Ясно, что они дают различающиеся значения истинности заключений.


6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ


Таким образом, можно заключить, что на основе весьма общих понятий позитивного и негативного аспекта истинности многие из результатов, полученных для VTF-логик, при соответствующей доработке (где это необходимо) переносятся на область Vn-логик. Это касается скалярных мер над сужденими, отношений правдоподобия и доминирования, первой и второй форм дизъюнкции и конъюнкции, вывода на основе правил modus ponens и modus tollens. Однако имеются и отличия. В частности, проблематичной оказывается первая форма отрицания, поскольку для нее необходимо знать содержательный смысл аспектов истинности. Соответственно, под вопросом оказываются все конструкции, где она используется (например, вывод по modus tollens с ее участием).

Важно и то, что нужно иметь в виду существование двух типов Vn-логик: А-типа, когда противоречие связывается с отличием от 0 хотя бы двух компонентов вектора истинности и Б-типа, когда противоречивось связывается с отличием от 0 хотя бы одного позитивного и одного негативного аспекта истинности там, где они имеются.



Литература

  1. Аршинский Л.В. Логический вывод при принятии решений на основе логик с векторной семантикой// Труды III международной конференции «Идентификация систем и задачи управления». SICPRO’04. – М: Институт проблем управления, 2004. – С.396-412.

  2. Аршинский Л.В. Интервальное оценивание истинности в системах автоматизированных рассуждений на основе VTF-логик// Труды IV международной конференции «Идентификация систем и задачи управления». SICPRO’05. – М: Институт проблем управления, 2005. – С.1061-1074.

  3. Аршинский Л.В. Использование противоречивых оценок истинности при анализе случайных событий// Идентификация систем и задачи управления. Труды V международной конференции SICPRO’06. – М: Институт проблем управления, 2006. – С.2111-2125.

  4. Аршинский Л.В. Моделирование множеств с противоречиями на основе векторного представления истинности// Идентификация систем и задачи управления. Труды VI международной конференции SICPRO’07. – М: Институт проблем управления, 2007. – С.716-724.

  5. Шрамко Я.В. Обобщенные истинностные значения: решетки и мультирешетки// Логические исследования. – М.: Наука, 2002. – Выпуск 9. – С.264-291.

Каталог: resurs -> papers -> kolomna2009 -> doklad
resurs -> Бақылау диктанты. «Тоғжан аулында» Қазақ тілі 9 сынып
resurs -> Ақпараттық-библиографиялық қызмет секторы Мұхаммед Хайдар Дулати – әйгілі тарихшы, қоғам қайраткері, ғалым және әдебиетші
resurs -> -
resurs -> Библиографический указатель «Халық қаһарманы Бауыржан Момышұлы»
doklad -> Аппроксимация испытаний марочной прочности портландцемента с использованием генетического программирования
doklad -> Генетические алгоритмы в задачах формирования портфеля инновационных проектов


Достарыңызбен бөлісу:


©netref.ru 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет