Сборник задач для подготовки к олимпиадам по математике 5-11 классы от преподавателей Фоксфорда



Pdf көрінісі
Дата01.11.2019
өлшемі151.53 Kb.
түріСборник задач

Сборник задач

для подготовки

к олимпиадам

по математике

5-11 классы

от преподавателей Фоксфорда

Предисловие

Дорогой читатель!

Этот мини-сборник состоит из избранных задач онлайн-олимпиады

Фоксфорда по математике в 2016/2017 учебном году (IV, V и VI се-

зоны).

Задачи разбиты по разделам:



1) логика,

2) алгебра,

3) геометрия,

4) комбинаторика,

5) теория чисел.

Это разбиение соответствует тематике задач и нужным для их

решения знаниям.

Внутри каждого раздела задачи упорядочены по сложности:

• 5 и 6 классам рекомендуются задачи под номерами 1 и 2;

• 7 классам рекомендуются задачи под номерами 2 и 3;

• 8 и 9 классам рекомендуются задачи под номерами 3 и 4;

• 10 и 11 классам рекомендуются задачи под номерами 4 и 5.

При подготовке к олимпиадам следует уделять внимание в первую

очередь сильным сторонам. Для того, чтобы стать призёром, обыч-

но достаточно решить 60% варианта. Добившись практически абсо-

лютной результативности в наиболее интересных разделах, можно

переходить к изучению всех остальных разделов и тренировке по

ним. Однако необходимо обладать достаточно широкой эрудицией,

чтобы не упустить задачи, которые находятся на стыках разделов.

Составлением олимпиады Фоксфорда по математике в 2016/2017

учебном году занимались преподаватели–методисты Блинков Ю.А.,

Голубев М.О., Максимов Д.В., Нилов Ф.К., Сегинёва М.С., Тру-

шин Б.В. под моей редакцией.

Шарич В.З.,

зав. каф. математики Фоксфорда

1


Список задач со ссылками

Логика


Алгебра

Геометрия

Комби-

наторика


Теория

чисел


1

Турнир


по теннису

Ссылка


Детская

площадка


Ссылка

Расстояния

на прямой

Ссылка


Сколько же

всё-таки


чисел?

Ссылка


Сотни-тысячи

Ссылка


2

Рыцари


и лжецы

в ряд


Ссылка

Бизнесмен

и тракторист

Ссылка


Буриданова

лягушка


Ссылка

Бардак


на олимпиаде

Ссылка


Сумма

делится,


а слагаемые

нет


Ссылка

3

Разбираем



камни

с кучки


Ссылка

Суммы трёх

Ссылка

Шесть


пирамид

в кубе


Ссылка

Конференция

Ссылка

Особенные



числа

подряд


Ссылка

4

АБсчитались



Ссылка

Наименьшее

значение

a

2



− 4b

Ссылка


Параллельные

через


основания

биссектрис

Ссылка

Почти


пустые

линии


Ссылка

Сократить

дробь

Ссылка


5

Голодный,

но принципи-

альный


Ссылка

Многократно

больше

среднего


Ссылка

Площади в

прямоугольном

тетраэдре

Ссылка

Раздаём


котят

Ссылка


Делимость

суммы


степеней

Ссылка


В каждой задаче есть варианты (обычно 5 равноценных по слож-

ности вариантов). В условии задачи некоторые параметры заме-

нены латинскими буквами (X, Y , Z, N , M , ...), а сами варианты

приведены в таблице после условия задачи.

На олимпиаде Фоксфорда каждый участник получает 10 задач

с индивидуальным набором параметров и, таким образом, решает

уникальный вариант олимпиады.

2


Логика

Задачи по логике характерны отсутвием привязок к определён-

ным математическим объектам.

Для решения логических задач на олимпиадах, на самом деле, не

нужны особые знания. Тем не менее полезно знакомство со следу-

ющими темами:

оценка + пример



логические задачи

;



теория игр



;

• и др.


3

Задача Л-1

Турнир по теннису

В турнире по настольному теннису участвовало восемь школьни-

ков. Ребята поделились на пары и сыграли четыре матча. Затем

победители этих матчей опять поделились на пары и сыграли еще

два матча. В итоге победители этих матчей сыграли матч между

собой, а тот, кто его выиграл, стал победителем турнира. Победи-

тели этих семи матчей (в некотором порядке) – это Z. Кто выиграл

турнир?

Варианты


Z

Ответ


I

Вася, Аня, Миша, Аня,

Толя, Миша, Аня

Аня


II

Катя, Толя, Ира, Толя,

Слава, Ира, Толя

Толя


III

Вера, Федя, Милена, Петя,

Вера, Федя, Вера

Вера


IV

Костя, Поля, Костя, Наташа,

Наташа, Соня, Наташа

Наташа


V

Дима, Лена, Дима, Алина,

Дима, Алина, Света

Дима


Посмотрите видеоразбор задачи

Вернуться к таблице с задачами

4


Задача Л-2

Рыцари и лжецы в ряд

На острове живут только лжецы, которые всегда лгут, и рыца-

ри, которые всегда говорят правду. Однажды выстроились в один

ряд X жителей этого острова. Каждый, кроме трёх самых крайних

справа, сказал: «Мой сосед справа – лжец». Самый правый ска-

зал: «Мой сосед слева – балда», а тот возмутился: «Я не балда!»

Сколько лжецов в строю?

Варианты

X Ответ


I

20

10



II

12

6



III

14

7



IV

16

8



V

18

9



Вернуться к таблице с задачами

5


Задача Л-3

Разбираем камни с кучки

В кучке имеется n > 1 камней. Двое по очереди берут камни из

этой кучки: минимум X и максимум Y камней. Проигрывает тот,

кто не может сделать ход. При каком наименьшем n > Z у второго

игрока есть выигрышная стратегия?

Варианты

X Y


Z

Ответ


I

7

19 124



130

II

8



14 127

132


III

5

19 118



120

IV

9



19 105

112


V

5

13 105



108

Посмотрите видеоразбор задачи

Вернуться к таблице с задачами

6


Задача Л-4

АБсчитались

В ряд выписано несколько букв А и Б. Среди любых подряд вы-

писанных N букв А и Б встречаются поровну раз, а среди любых

M букв подряд — не поровну. Какое наибольшее число букв может

располагаться в этом ряду?

Варианты

N

M



Ответ

I

100



102

150


II

200


202

300


III

300


302

450


IV

400


402

600


V

500


502

750


Общий

N

M = N + 2



3

2

· N



Посмотрите видеоразбор задачи

Вернуться к таблице с задачами

7


Задача Л-5

Голодный, но принципиальный

В ряд стоит N лукошек с малиной: в первом одна ягода, во втором

две, в третьем три и так далее. Время от времени является мистер

Фокс и съедает одно и то же число ягод из нескольких лукошек

(разумеется, в каждом ягод должно быть не меньше числа, которое

выбрал мистер Фокс). За какое наименьшее число визитов мистер

Фокс съест всю малину?

Варианты

N

Ответ



I

100


7

II

300



9

III


150

8

IV



600

10

V



50

6

Общий



N

blog


2

N c + 1


Посмотрите видеоразбор задачи

Вернуться к таблице с задачами

8


Алгебра

Задачи по алгебре характерны привязками к выражениям, функ-

циям, уравнениям, неравенствам или их системам.

Для решения алгебраических задач на олимпиадах необходимо

твёрдое владение школьным курсом своего и всех предыдущих клас-

сов. Кроме того, полезно знакомство со следующими темами:

многочлены и их корни



;

доказательство неравенств



;

функциональные уравнения



;

• и др.


9

Задача А-1

Детская площадка

На детской площадке катались дети на двухколёсных и трехко-

лёсных велосипедах. Сколько трёхколесных велосипедов было на

площадке, если всего было X и Y ?

Варианты


X

Y

Ответ



I

52 колеса

22 велосипеда

8

II



60 колёс

25 велосипедов

10

III


61 колесо 28 велосипедов

5

IV



65 колёс

29 велосипедов

7

V

75 колёс



31 велосипед

13

Вернуться к таблице с задачами



10

Задача А-2

Бизнесмен и тракторист

Навигатор на «Лексусе» бизнесмена Фокса сообщает, сколько оста-

лось ехать до пункта назначения, если двигаться со скоростью, рав-

ной средней скорости на промежутке от начала пути до настоящего

момента. Фокс выехал из дома на дачу. В середине пути навигатор

сообщил, что осталось ехать X. В этот момент прямо перед «Лек-

сусом» на дорогу выехал тракторист Форд, обогнать которого не

было никакой возможности. После того как Фокс проехал половину

оставшегося пути, навигатор сообщил, что осталось ехать Y . Через

сколько часов после этого приедет на дачу бизнесмен, если так и не

обгонит тракториста?

Варианты

X

Y



ответ

I

1 час



2 часа

5 часов


II

2 часа


4 часа

10 часов


III

3 часа


6 часов

15 часов


IV

12 минут


24 минуты

1 час


V

24 минуты

48 минут

2 часа


Посмотрите видеоразбор задачи

Вернуться к таблице с задачами

11


Задача А-3

Суммы трёх

Известно, что a + b + c = m, а

1

a + b



+

1

b + c



+

1

c + a



= n.

Найдите сумму

a

b + c


+

b

c + a



+

c

a + b



.

Варианты


m

n

Ответ



I

7

0,7



1,9

II

8



0,8

3,4


III

8

0,7



2,6

IV

9



0,8

4,2


V

9

0,9



5,1

Обший


m

n

mn − 3



Посмотрите видеоразбор задачи

Вернуться к таблице с задачами

12


Задача А-4

Наименьшее значение a

2

− 4b


Числа a и b таковы, что

a + b ≤ X,

2a + b ≤ Y.

Какое наименьшее значение может принимать выражение a

2

− 4b?


Варианты

X

Y



Ответ

I

-4



-7

13

II



-5

-8

17



III

-6

-9



21

IV

-7



-10

25

V



-8

-11


29

Общий


X = −k − 1 Y = −k − 4 4k + 1

Посмотрите видеоразбор задачи

Вернуться к таблице с задачами

13


Задача А-5

Многократно больше среднего

Даны положительные числа a

1

< a

2

< . . . < a

X

. Оказалось, что



a

k

в Y раз больше среднего арифметического всех чисел. Какое



наименьшее значение может принимать k?

Варианты


X

Y

ответ



I

2014


19

1910


II

2015


13

1862


III

2016


24

1934


IV

2024


22

1934


V

2023


17

1906


Общий

X = mn Y = n m(n − 1) + 2

Посмотрите видеоразбор задачи

Вернуться к таблице с задачами

14


Геометрия

Задачи по геометрии характерны привязками к фигурам на плос-

кости или в пространстве объектам.

Для решения геометрических задач на олимпиадах необходимо

твёрдое владение школьным курсом своего и всех предыдущих клас-

сов. Кроме того, полезно знакомство со следующими темами:

степень точки



;

• теоремы

Чевы

и

Менелая



;

• преобразования плоскости (

подобия

,

движения



,

гомотетия

,

ин-


версия

);

• и др.



15

Задача Г-1

Расстояния на прямой

На прямой расположены 100 точек. Сумма расстояний от первой

слева из них до всех остальных равна a, а сумма расстояний от

второй слева до всех остальных (включая самую левую) равна b.

Чему равно расстояние между первой и второй точками слева?

Варианты

a

b



Ответ

I

2016 1918



1

II

2016 1820



2

III


2016 1722

3

IV



2018 1822

2

V



2017 1625

4

Посмотрите видеоразбор задачи



Вернуться к таблице с задачами

16


Задача Г-2

Буриданова лягушка

В вершине угла в X

сидит лягушка. Она делает прыжки равной



длины, каждый раз перемещаясь с одной стороны угла на другую

и не возвращаясь в точки, где уже побывала до этого. Какое наи-

большее число прыжков может сделать лягушка?

Варианты


X Ответ

I

1



90

II

2



45

III


3

30

IV



5

18

V



9

10

Общий



X

90/X


Посмотрите видеоразбор задачи

Вернуться к таблице с задачами

17


Задача Г-3

Шесть пирамид в кубе

Куб поделен на шесть четырехугольных пирамид следующим спо-

собом: внутри куба выбрана точка, которая соединена со всеми во-

семью вершинами куба. Объемы пяти из этих пирамид — это числа

a, b, c, d и e. Чему равен объем шестой пирамиды?

Варианты

a b


c

d

e



Ответ

I

2 5 10 11 14



6

II

5 6



7

9

11



10

III


5 6

8

14 17



16

IV

2 5



7

8

13



10

V

6 9 10 13 15



4

Посмотрите видеоразбор задачи

Вернуться к таблице с задачами

18


Задача Г-4

Параллельные через основания биссектрис

Пусть P , Q и R – точки пересечения биссектрис углов треуголь-

ника ABC со сторонами BC, CA и AB соответственно. Прямая,

проходящая через точку P параллельно AB, пересекает сторону

CA в точке P

1

. Аналогично определяются точки Q



1

и R


1

. Найдите

сумму

1

P P



1

+

1



QQ

1

+



1

RR

1



,

если длины сторон исходного треугольника равны a, b и c.

Варианты

a

b



c

Ответ


I

2

4



5

1,9


II

4

8



10

0,95


III

8

16 20



0,475

IV

10 20 25



0,38

V

20 40 50



0,19

Общий


a

b

c



2

 1


a

+

1



b

+

1



c



Посмотрите видеоразбор задачи



Вернуться к таблице с задачами

19


Задача Г-5

Площади в прямоугольном тетраэдре

В тетраэдре SABC углы ∠ASB, ∠BSC, ∠CSA прямые. Точка H

– основание высоты из вершины S на грань ABC. Оказалось, что

площадь треугольника AHB в X раз больше площади треугольника

BHC. Найдите отношение площадей треугольников ASB и BSC.

(В ответе запишите результат деления площади треугольника

ASB на площадь треугольника BSC; при необходимости округ-

лите до сотых.)

Варианты


X Ответ

I

9



3

II

16



4

III


25

5

IV



36

6

V



49

7

Общий



n

2

n



Посмотрите видеоразбор задачи

Вернуться к таблице с задачами

20


Комбинаторика

Задачи по комбинаторике характерны привязками к определён-

ным дискретным конструкциям, как-то: конечные множества и их

подмножества, доски и таблицы, графы.

Для решения комбинаторных задач на олимпиадах полезно зна-

комство со следующими темами:

число сочетаний



;

подсчёт двумя способами



;

теория графов



;

• и др.


21

Задача К-1

Сколько же всё-таки чисел?

Сколько существует таких натуральных чисел A, что среди чисел

A, A + X и A + Y ровно два четырёхзначных?

Варианты

X

Y



Ответ

I

10



20

20

II



12

24

24



III

14

28



28

IV

15



30

30

V



16

32

32



Общий

X Y = 2X


2X

Посмотрите видеоразбор задачи

Вернуться к таблице с задачами

22


Задача К-2

Бардак на олимпиаде

В варианте олимпиады X задач, каждая оценивается в 8 баллов

(за задачу можно получить целое число от 0 до 8 баллов). По ре-

зультатам проверки все участники набрали разное число баллов.

Члены оргкомитета втихаря исправили оценки 0 на 6, 1 на 7, 2 на

8. В результате этого участники упорядочились в точности в об-

ратном порядке. Какое наибольшее количество участников могло

быть?

Варианты


X Ответ

I

6



7

II

7



8

III


8

9

IV



9

10

V



10

11

Посмотрите видеоразбор задачи



Вернуться к таблице с задачами

23


Задача К-3

Конференция

На конференцию съехались учёные из Франции, Германии и Рос-

сии, всего 20 человек. Оказалось, что на французском языке гово-

рят X человек, немецком – Y , русском – Z. Сколько из них заведомо

говорит на всех трёх языках? (Приведите наименьшее возможное

количество.)

Варианты


X

Y

Z



Ответ

I

17 16 15



8

II

13 10 19



2

III


15 18 14

7

IV



11 19 16

6

V



10 17 18

5

Посмотрите видеоразбор задачи



Вернуться к таблице с задачами

24


Задача К-4

Почти пустые линии

На доске N × N стоят фишки. Ряд (строку или столбец) назо-

вем «почти пустым» если в нем не более двух фишек. Оказалось,

что каждая фишка стоит в почти пустой строке или в почти пу-

стом столбце. Какое наибольшее количество фишек может быть на

доске?

Варианты


N

Ответ


I

20

72



II

30

112



III

40

152



IV

50

192



V

25

92



Общий

N 4(N − 2)

Посмотрите видеоразбор задачи

Вернуться к таблице с задачами

25


Задача К-5

Раздаём котят

Сколькими способами m котят (а котята все разные) можно раз-

дать n семьям (и семьи все разные), если каждой семье нужно вы-

дать одного или двух котят?

Варианты


m n

Ответ


I

10 6


3402000

II

9



7

1905120


III

10 7


15876000

IV

9



6

907200


V

8

6



151200

Общий


m n

m!n!


(m − n)!(2n − m)!2

m−n


Вернуться к таблице с задачами

26


Теория чисел

Задачи по теории чисел характерны привязками к целым числам

и отношению делимости.

Для решения теоретико-числовых задач на олимпиадах необходи-

мо твёрдое владение школьным курсом своего и всех предыдущих

классов. Кроме того, полезно знакомство со следующими темами:

сравнения по модулю



;

диофантовы уравнения



;

• и др.


27

Задача Ч-1

Сотни-тысячи

X число Y сотни Z десятка T тысячи натуральных чисел — это...

Варианты


X

Y

Z



T

Ответ


I

Восьмое


третьей

второго


пятой

4218


II

Пятое


второй

первого


четвертой

3105


III

Седьмое четвертой

второго

четвертой



3317

IV

Девятое



седьмой

третьего


шестой

5629


V

Первое


второй

пятого


шестой

5141


Посмотрите видеоразбор задачи

Вернуться к таблице с задачами

28


Задача Ч-2

Сумма делится, а слагаемые нет

Мистер Фокс задумал некоторое натуральное число N , большее

A, но меньшее B, и сложил все натуральные числа от 1 до N . Он

обнаружил, что полученная сумма делится на некоторое простое

число p, однако ни одно слагаемое на p не делится. Чему равно N ?

Варианты

A

B



ответ

I

240 255



250

II

410 420



418

III


215 225

222


IV

360 370


366

V

315 330



316

Посмотрите видеоразбор задачи

Вернуться к таблице с задачами

29


Задача Ч-3

Особенные числа подряд

Назовем X-значное число особенным, если его нельзя разложить

в произведение двух Y -значных чисел. Какое наибольшее количе-

ство особенных чисел может идти подряд?

Варианты


X

Y

Ответ



I

5

3



99

II

7



4

999


III

9

5



9999

IV

11



6

99999


V

13

7



999999

Общий


X = 2N + 1 Y = N + 1 99..9

| {z }


N

= 10


N

− 1


Посмотрите видеоразбор задачи

Вернуться к таблице с задачами

30


Задача Ч-4

Сократить дробь

Пусть

m

n



— положительная несократимая дробь. На какое наи-

большее число может быть сократима дробь

Am + Bn

Cm + Dn


?

Варианты


A B C D

Ответ


I

2

3



3

7

5



II

4

3



5

2

7



III

2

7



3

5

11



IV

7

2



4

3

13



V

2

3



7

2

17



Общий

A B C D |AD − BC|

Посмотрите видеоразбор задачи

Вернуться к таблице с задачами

31


Задача Ч-5

Делимость суммы степеней

Известно, что если сумма X натуральных чисел делится на n, то и

сумма Y степеней этих же чисел делится на n. Найдите наибольшее

возможное натуральное значение n.

Варианты


X

Y

Ответ



I

трёх


седьмых

42

II



трёх

девятых


30

III


трёх

одиннадцатых

66

IV

четырёх



седьмых

42

V



четырех

девятых


30

Посмотрите видеоразбор задачи

Вернуться к таблице с задачами

32


Уважаемые школьники, родители, учителя!

Ежегодно мы проводим три сезона олимпиады Фоксфорда для

школьников 3-11 классов по различным дисциплинам: математика,

русский, информатика, физика, химия, биология, история, общест-

вознание, английский язык.

В VIII сезоне мы добавили к традиционным предметам и задани-

ям три новые олимпиады: логика, бизнес-логика и рэп-культура.

Помимо классических задач школьников ждут головоломки, за-

дачи на сообразительность и смекалку, а также задания, где ответ

может быть получен путём доказательных рассуждений, на основе

логики, почти без вычислений.

Страница олимпиады Фоксфорда

Уважаемые учителя!

Приглашая школьников участвовать в онлайн-олимпиаде, учите-

ля получают сертификат организатора, благодарственное письмо

и призы за активное участие и победы учеников. В VIII сезоне мы

разыгрываем: годовые абонементы на курсы Фоксфорда в подароч-

ной упаковке, две путёвки в выездную школу педагогов и директо-

ров, а среди самых активных — 30 000 рублей.

Подробные условия — на странице олимпиады для учителя.

Будем рады видеть Вас и Ваших учеников среди участников и

победителей!

Ксения Данилина

координатор олимпиады Фоксфорда



33


Достарыңызбен бөлісу:


©netref.ru 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет