Системы линейных алгебраических уравнений



Дата09.11.2019
өлшемі82.5 Kb.
түріРеферат


КАЗАХСКАЯ АКАДЕМИЯ ТРУДА И СОЦИАЛЬНЫХ ОТНОШЕНИЙ





РЕФЕРАТ
на тему:

«Системы линейных алгебраических уравнений»

Выполнил студент группы: Лопк-р-19



Непорожний Александр Александрович

Алматы 2019



Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Многие теоретические и практические вопросы приводят не к одному уравнению, а к целой системе уравнений с несколькими неизвестными. Особенно важен случай системы линейных уравнений, т.е. системы m уравнений 1ой степени сn неизвестными:

a11 x1 + … + a1n xn = b1 ;

a21 x1 + … + a2n x n = b2;

………………………………

am 1 x 1 + … + amn xn = bm .

Здесь x1, …, xn – неизвестные, а коэффициенты записаны так, что индексы при них указывают на номер уравнения и номер неизвестного. Значение систем 1-й степени определяется не только тем, что они простейшие. На практике часто имеют дело с заведомо малыми величинами, старшими степенями которых можно пренебречь, так что уравнения с такими величинами сводятся в первом приближении к линейным. Не менее важно, что решение систем линейных уравнений составляет существенную часть при численном решении разнообразных прикладных задач.

Способы решения систем линейных уравнений – очень интересная и важная тема. Системы уравнений и методы их решения рассматриваются в школьном курсе математики, но недостаточно широко. А для того, чтобы перейти к исследованию данной темы, также нужно было познакомиться с темой матриц и определителей. Этот же материал вообще в школьной программе не изучается. В процессе знакомства с данной работой приобретаются навыки, с помощью которых в последующем решение систем линейных уравнений станет намного проще, понятнее и быстрее.

Цель моей работы заключается в том, чтобы изучить различные способы решения систем линейных уравнений для применения их на практике.

1. Основные понятия

В самом общем случае система линейных уравнений имеет следующий вид:

a11 x1 + a12 x2 + …+ a1n xn = b1 ;

a21 x1 + a22 x2 + …+ a2n xn = b2; (1)

……………………………………

am 1 x 1 + am 2 x 2 + …+ amn xn = bm ;

где х1, х2, …, х n — неизвестные, значения которых подлежат нахождению. Как видно из структуры системы (1), в общем случае число неизвестных не обязательно должно быть равно числу уравнений самой системы. Числа а11, а12, …, а mn называются коэффициентами системы, а b 1 , b 2 , …, bm — её свободными членами. Для удобства коэффициенты системы а ij (i =1, 2,..., m ; j = 1, 2,..., n ) и свободные члены bi (i =1, 2,..., m ) снабжены индексами. Первый индекс коэффициентов а ij соответствует номеру уравнения, а второй индекс – номеру неизвестной х i, при которой коэффициент поставлен. Индекс свободного члена bi соответствует номеру уравнения, в которое входит bi .

Дадим определения некоторых понятий, необходимых при изучении системы уравнений. Решением системы уравнений (1) называется всякая совокупность чисел α 1 , α 2 , αn , которая будучи поставлена в систему (1) на место неизвестных х1, х2, …, х n , обращает все уравнения системы в тождества. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет решений. Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет одно единственное решение, и неопределенной, если она имеет по крайней мере два различных решения.

Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и тоже множество решений.

1. Критерий совместности

Система линейных уравнений имеет вид:

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2 (5.1)

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

am1 x2 + am2 x2 +... + amn xn = bm

Здесь аij и bi (i = ; j = ) - заданные, а xj - неизвестные действительные числа. Используя понятие произведения матриц, можно переписать систему (5.1) в виде:

AX = B, (5.2)

где A = (аij ) - матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных системы (5.1), которая называется матрицей системы, X = (x1 , x2 ,..., xn )T ,

B = (b1 , b2 ,..., bm )T - векторы-столбцы, составленные соответственно из неизвестных xj и из свободных членов bi .

Упорядоченная совокупность n вещественных чисел (c1 , c2 ,..., cn ) называется решением системы (5.1), если в результате подстановки этих чисел вместо соответствующих переменных x1 , x2 ,..., xn каждое уравнение системы обратится в арифметическое тождество; другими словами, если существует вектор C= (c1 , c2 ,..., cn )T такой, что AC ≡ B.

Система (5.1) называется совместной, или разрешимой, если она имеет по крайней мере одно решение. Система называется несовместной, или неразрешимой, если она не имеет решений.

Матрицаà = ,образованная путем приписывания справа к матрице A столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы.

Вопрос о совместности системы (5.1) решается следующей теоремой.

Теорема Кронекера- Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранги матриц A и Ã совпадают, т.е.

r(A) = r(Ã) = r.

Для множества М решений системы (5.1) имеются три возможности:

1) M = Ø (в этом случае система несовместна);

2) M состоит из одного элемента, т.е. система имеет единственное решение (в этом случае система называется определенной);

3) M состоит более чем из одного элемента (тогда система называется неопределенной). В третьем случае система (5.1) имеет бесчисленное множество решений.

Система имеет единственное решение только в том случае, когда

r(A) = n. При этом число уравнений - не меньше числа неизвестных (m ≥ n); если m > n, то m-n уравнений являются следствиями остальных. Если 0 < r < n, то система является неопределенной.

Для решения произвольной системы линейных уравнений нужно уметь решать системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных, - так называемые системы крамеровского типа:

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2 (5.3)

... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

an1 x2 + an2 x2 + ... + ann xn = bn

Системы (5.3) решаются одним из следующих способов: 1) методом Гаусса, или методом исключения неизвестных; 2) по формулам Крамера;3) матричным методом.



2. Метод Гаусса

Исторически первым, наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.



3. Формулы Крамера

Метод Крамера состоит в том, что мы последовательно находим главный определитель системы (5.3), т.е. определитель матрицы А

Δ = det (aij )

и n вспомогательных определителей Δi (i = ), которые получаются из определителя Δ заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Формулы Крамера имеют вид:

Δ · xi = Δi (i = ). (5.4)

Из (5.4) следует правило Крамера, которое дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности системы (5.3): если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

xi = Δi / Δ.

Если главный определитель системы Δ и все вспомогательные определители Δi = 0 (i = ), то система имеет бесчисленное множество решений. Если главный определитель системы Δ = 0, а хотя бы один вспомогательный определитель отличен от нуля, то система несовместна.

4. Матричный метод

Если матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е.

det A ≠ 0, то матрица А имеет обратную, и решение системы (5.3) совпадает с вектором C = A-1 B. Иначе говоря, данная система имеет единственное решение. Отыскание решения системы по формуле X = C, C = A-1 B называют матричным способом решения системы, или решением по методу обратной матрицы.

Список литературы.

1. А. Дадаян. Алгебра и геометрия. / А.А. Дадаян, В.А. Дударенко.

2. Ф.Р. Гантмахер. Теория матриц (издание третье)./Ф.Р. Гантмахер.

3. Математический энциклопедический словарь.

4. Л. Андреева. Реферат по математике „Системы уравнений”. / Л. Андреева.

5. Д.К. Фадеев. „Сборник задач по высшей алгебре”./ Д.К. Фадеев, И.С. Саминский





Достарыңызбен бөлісу:


©netref.ru 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет