Статистический анализ длин теней гномона в "Альмагесте" К. Птолемея



Дата28.04.2016
өлшемі102.3 Kb.
Статистический анализ длин теней гномона

в “Альмагесте” К. Птолемея


В сочинении греческого астронома Клавдия Птолемея “Альмагест” приведены длины теней гномона для двадцати четырех климатов в дни солнцестояний и равноденствий. Анализ этих данных показывает, что все эти величины являются результатом вычислений. Сравнение величин невязок, которые представляют собой разность расчетных длин теней гномона, с длинами теней, приведенных в “Альмагесте”, показывает существование двух групп ошибок, дисперсия которых отличается в несколько раз. Этот результат требует объяснения.
В книге 2-й ”Альмагеста” [1] содержатся длины теней гномона в дни солнцестояний и равноденствий для двадцати четырех климатов (Приложение 1). Высота используемого гномона составляет 60 условных единиц, а длины теней от гномона приведены с точностью до условной единицы. Точность, с которой Птолемей приводит широты климатов, составляет одну минуту дуги. Так, широта Авалитского залива (3-й климат) составляет 8;25, широта острова Мерое – 16;27 (5-й климат), а широта Геллеспонта 40;56 (13-й климат). Кроме того, в этой же главе Птолемей использует угол наклона эклиптики к плоскости небесного экватора, который соответствует его эпохе наблюдения, ε = 23;51;20 = 23.8555 градусов. Хотя Птолемей не сообщает, являются ли приведенные им длины теней результатом реальных измерений или результатом вычислений, это можно установить.

Для этого, зная широты климатов и наклон эклиптики к экватору на эпоху Птолемея, найдем расчетные длины теней гномона для каждого климата и сравним их с данными “Альмагеста”. Для этого вычислим невязки теней и построим их в зависимости от расчетной длины тени , рис. 1.




Рис. 1. Зависимость величины невязки теней гномона от длины тени. Кружками, квадратами и треугольниками обозначены данные, которые соответствуют летним солнцестояниям, равноденствиям и зимним солнцестояниям

В таблице 1 вычислены значения средних невязок и соответствующие им среднеквадратичные отклонения (СКО). Во втором и третьем столбцах представлены результаты расчета, полученные по всей выборке данных, в четвертом и пятом столбцах приведены результаты с отфильтрованными выбросами.

Таблица 1


Наблюдения

Среднее

(все данные)



СКО

(все данные)



Среднее

(2σ)


СКО

(2σ)


Летнее солнцестояние

–0.022

0.091

–0.006

0.049

Равноденствие

0.021

0.064

0.027

0.056

Зимнее солнцестояние

–0.030

0.578

0.077

0.215

Отсюда можно сделать два важных заключения. Во-первых, усредненные невязки для летних солнцестояний и равноденствий примерно одинаковы по величине, среднеквадратичному отклонению, и соответствуют друг другу в пределах погрешности. Невязка СКО, вычисленная для зимних солнцестояний, превышает невязки СКО летних солнцестояний и равноденствий более чем в 4 раза, что требует объяснения. Во-вторых, с точки зрения анализа, важной величиной является оценка СКО для невязок равноденствий, поскольку именно она позволяет дать ответ на вопрос являются ли данные Птолемея результатами наблюдений или результатами расчетов.

Оценка СКО для равноденствий позволяет получить теоретическую оценку точности, с которой наблюдатель должен уметь определять момент наступления равноденствия. Известно, что в день равноденствия склонение Солнца изменяется примерно на одну минуту дуги за один час. Поэтому погрешность определения момента равноденствия ± n часов приводит к вариации склонения ±n угловых минут. Из-за вариации склонения длина тени гномона в момент измерения окажется чуть меньше или чуть больше длины его тени в момент равноденствия. Следовательно, мы можем исследовать зависимость поведения невязок от погрешности определения момента равноденствия. Считая, что ошибка определения момента наступления равноденствия подчиняется распределению Гаусса с параметрами , смоделируем эту ошибку и вычислим, какие при этом получатся невязки теней гномона для всех 24 климатов. Повторим эту процедуру по методу Монте-Карло 30 раз и получим 720 значений невязок, для которых вычислим среднее значение и теоретическое СКО. Проведя такую процедуру для разных значений n, построим зависимость теоретического СКО от величины ошибки определения момента равноденствия. Результаты расчетов представлены на рис. 2.

В случае реальных измерений величина ошибки будет больше, по сравнению с теоретически вычисленными значениями СКО, поскольку расчет не учитывает погрешность измерения длины тени. Полученная зависимость позволяет провести обратную оценку, когда из вычисленного значения СКО можно найти погрешность определения момента равноденствия. Если воспользоваться значением СКО из таблицы 1 для равноденствий, то получим оценку погрешности времени ~ 1 часа. Иначе говоря, для того чтобы получить значение СКО ~0.05 необходимо уметь определять момент наступления равноденствия с точностью не хуже 1 часа. Кроме того, потребуется провести селекцию наблюдений, когда из всего множества должны быть отобраны только те наблюдения, в которых момент равноденствия совпадает с моментом прохождения Солнца через местный меридиан. Такая задача вполне разрешима. В работе [2] показано, что наблюдения равноденствий, выполненные греческими астрономами Метоном, Эвктемоном и Гиппархом, имеют ошибку около 7.5 часов, чему соответствует теоретическое значение СКО ~0.25. Очевидно, что при такой погрешности невозможно даже близко получить значения СКО, которые приведены в таблице 1. Следовательно, длины теней гномона являются результатом вычислений, а не измерений.




Рис. 2. Теоретическая зависимость СКО невязки длины тени гномона от величины ошибки определения времени равноденствия


В дополнении к сказанному заметим, что данные Птолемея по наблюдению равноденствий имеют значительно большие значения ошибок по сравнению с его предшественниками. Это дает основание считать, что Птолемей не наблюдал сам моменты равноденствий, а вычислял их. Причина расхождения состоит в неправильно принятой величине скорости прецессии 1 градус в 100 лет, поэтому мы не будем далее рассматривать наблюдения Птолемея, для которых теоретические значения СКО должны быть от 0.7 и выше.

Таким образом, с помощью статистического анализа было показано, что длины теней гномона являются вычисленными величинами. Этому выводу можно найти косвенное подтверждение, если обратить внимание на то, что часть климатов и соответствующих им широт связана с протяженными объектами, например, “Страны Нижнего Египта”(№ 9), ”Середина Финикии”(№ 10), “Середина Понта” (№ 15), “Юг Британии”(№ 19)”, ”середина Британии” (№ 23). К точно локализуемым объектам относится лишь часть климатов, например, Напату (№ 6), Сиена (№ 7), Геллеспонт (№ 13). Широты самых северных климатов № 21÷№ 25, которые так же являются протяженными объектами, переданы целыми числами. По всей видимости, этим климатам широта была априорно приписана из каких-то соображений, после чего Птолемей для них вычислил продолжительность светового дня и длины теней гномона.

Другим не менее важным вопросом к данным Птолемея является проблема невязок для зимних солнцестояний, у которых СКО оказывается в 4 раза больше величины СКО для летних солнцестояний и равноденствий. Основная причина отличия заключается в аномально высоких значениях невязок, которые соответствуют климатам № 12÷№ 20, рис. 1. Значение невязки, усредненное по первым двенадцати климатам, составляет при величине среднеквадратичного отклонения . Хотя значение СКО примерно в 1.5 раза превышает величины СКО из таблицы 1, оно было получено на выборке вдвое меньшего объема. Если из данных по летним солнцестояниям и равноденствиям делать случайные выборки из двенадцати элементов, то получим аналогичные величины СКО. Это говорит о том, что длины теней гномона, соответствующие летним солнцестояниям, равноденствиям и первым двенадцати климатам зимних солнцестояний имеют одинаковую статистическую точность. Длина тени гномона во время зимних солнцестояний для климатов № 12÷№ 18 и № 20 имеет среднее значение и , что значимо отличается от всех предыдущих результатов, рис. 3.




Рис. 3. Зависимость величины невязки теней гномона от длины тени для климатов с наибольшими невязками. Кружками, квадратами и треугольниками обозначены данные, которые соответствуют летним солнцестояниям, равноденствиям и зимним солнцестояниям

Из рис. 3 следует, что для этих же климатов, невязки соответствующие летним солнцестояниям и равноденствиям имеют значение СКО ~0.08. Это означает, что проблема высоких значений СКО для зимних солнцестояний не может являться следствием в ошибке широты. Кроме того, проверка показала отсутствие ошибок в таблице хорд (или синусов двойного угла) у Птолемея, поэтому высокие значения СКО соответствующие зимним солнцестояниям не могут быть связаны с систематической ошибкой в вычислениях.

Наиболее вероятным объяснением наблюдающейся картины является предположение о том, что длины теней гномонов, приведенные в “Альмагесте”, принадлежат как минимум двум разным исследователям. Первоначально длины теней гномонов были получены в результате реальных измерений или не очень точных теоретических расчетов. В последствии, они были заменены более точным расчетом, но не полностью. Такое объяснение вполне соответствует представлениям о компилятивном характере знаний, собранных в “Альмагесте” Птолемея.

Литература


1) К. Птолемей. Альмагест, М.: Физматлит, 1998.

2) Р. Ньютон. Преступление Клавдия Птолемея. М.:, “Наука”, 1985.



Приложение 1




Место

Широта

Длина тени в летнее СС

Длина тени

в равноденствие

Длина тени в зимнее СС

2.

Остров Тапробану

4.2500

–23.333

4.417

32.000

3.

Залив Авалитский

8.4167

–16.580

8.833

37.900

4.

Залив Адулийский

12.500

–12.000

13.333

44.167

5.

Остров Мерое

16.450

–7.750

17.750

51.000

6.

Напату

20.233

–3.750

22.167

58.167

7.

Сиена

23.850

0.000

26.500

65.833

8.

Гермиева Птолемиада

27.200

3.500

30.833

74.167

9.

Страны Ниж. Египта

30.367

6.867

35.083

83.083

10.

Середина Финикии

33.333

10.000

39.500

93.083

11.

Родос

36.000

12.917

43.600

103.333

12.

Смирна

38.583

15.667

47.833

114.917

13.

Геллеспонт

40.933

18.500

52.167

127.833

14.

Массалия

43.067

20.833

55.917

140.250

15.

Середина Понта

45.017

23.250

60.000

155.083

16.

Истоки Истра

46.850

25.500

63.917

171.500

17.

Истоки Борисфена

48.533

27.500

67.833

188.583

18.

Озеро Меотидское

50.067

29.917

71.667

208.333

19.

Юг Британии

51.500

31.417

75.417

229.333

20.

Устье Рейна

52.833

33.333

79.083

256.167

21.

Устье Танаиса

54.017

34.917

82.583

278.750

22.

Бригантий

55.000

36.250

85.667

304.500

23.

Середина Британии

56.000

37.667

88.833

335.250

24.

Катукартоний

57.000

39.167

92.417

372.667

25.

Юг Малой Британии

58.000

40.667

96.000

419.167

Каталог: media -> publications -> article
article -> Т. А. Прохорова карл кох о юго-западном крыме: к вопросу об изучении полуострова во второй четверти XIX в
article -> Материалы и методы
article -> Терещенко Е. От эстетики зла к этике абсурда: Ш. Бодлер, А. Рембо, А. Арто
article -> Аватар как символ современной культуры
article -> Сравнительный анализ петрофизических свойств щелочных и толеитовых базальтов сибирской платформы
article -> Механизм активной жизни Земли и других небесных тел: приложения в науках о Земле и планетных науках Barkin Yu. V
article -> С. Ю. Филиппова к ю. н., доц доцент кафедры коммерческого права и основ правоведения мгу имени М. В. Ломоносова «Истинный химик должен быть теоретиком и практиком»
article -> Вена удивительный город, подаривший миру много замечательных вещей: все знают о «венском лесе», «венском вальсе», «венских колбасках» и«венском кружке». Именно о «венском кружке» пойдет речь
article -> К вопросу о реализации принципа единства генетичности и научности на уровне предвузовской математической подготовки
article -> А. А. Залетный, к э. н., к филос н


Достарыңызбен бөлісу:


©netref.ru 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет