Теория линейных систем



жүктеу 0.73 Mb.
бет3/3
Дата02.05.2016
өлшемі0.73 Mb.
түріМетодические указания
1   2   3
: arm -> upload -> umk
umk -> Әдістемелік нұсқаудың титулдық парағы
umk -> Дәрістердің тірек конспектісі
umk -> Ф со пгу 18. 2/05 Қазақстан Республикасының білім және ғылым министрлігі
umk -> Пән бойынша оқыту бағдарламасының (Syllabus) титулдық парағы
umk -> БАҒдарламасы (Syllabus) pkya 2204 «Кәсіби қазақ тілі»
umk -> Бейнелеу өнерін оқыту әдістемесі» пәні бойынша 5В107000– «Бейнелеу өнері және сызу мамандығының студенттеріне арналған пәнді зерттеу әдістемесі арналған тапсырма
umk -> Лекционный комплекс
umk -> 1 Пәннің мақсаты мен міндеттері, және оқу үрдісінде алатын орны Пәннің мақсаты
umk -> ЖҰмыс бағдарламасы қазақ журналистикасының тарихы 5В050400 «Журналистика» мамандығының студенттеріне арналған Павлодар
umk -> Әдістемелік ұсыныстар мен нұсқаулардың; әдістемелік ұсыныстардың; әдістемелік нұсқаулардың титул парағы

Структурная схема системы автоматического регулирования (САР) напряжения генератора постоянного тока (рисунок 1).




Рисунок 1

Генератор (блок 5) описывается дифференциальным уравнением


Исходные данные (таблица 1).

Таблица 1


Пара­метр

Вариант (выбирается согласно номеру по порядку в списке группы)

1, 11

2, 12

3, 13

4, 14

5, 15

6, 16

7, 17

8, 18

9, 19

10, 20

k1

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1.7

1,8

1,90

k2

12,0

11,0

10,0

9,0

8,0

7,0

6,0

5,0

4,0

3,00

k3

равен порядку первой буквы фамилии в алфавите

T1

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

10,00

T2

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,00

T3

0,5

0,8

1,1

1,4

1,7

1,5

1,2

1,0

0,8

0,60



0,9

0,8

0,8

0,6

0,6

0,4

0,4

0,2

0,2

0,15

Примечание – точность расчетов не менее трех знаков после запятой. Все вычисления и графические построения выполняются в соответствии с теоретическими положениями, изложенными в [1-4] и конспекте лекций. Для обработки на ЭВМ используется пакет программ LinCAD. Последовательно выполняя работы, необходимо спроектировать устойчивую САР с заданными показателями качества.

Оформление отчета к лабораторному практикуму должно удовлетворять требованиям стандарта ПГУ. Допускается выполнять отчет в виде одной тетради с общим титульным листом и последовательно добавляемыми работами.

1 Исследование временных характеристик фильтра



1.1 Цель работы

Целью работы является исследование реакции на типовое воздействие во временной области звеньев (фильтров) с разной передаточной функцией.


1.2 Общие сведения

Регулярные сигналы, используемые для исследования САР, на­зываются типовыми воздействиями. Они позволяют сравнивать свой­ства различных систем при равных начальных условиях и входных сигналах одинаковой формы. К типовым обычно относятся ступенча­тое (скачок) A∙1(t) или функция Хевисайда, импульсное A∙δ(t) или функция Дирака, гармоническое A∙sinωt и степенное A∙tn воздействия (функции). При А = 1 воздействие называется единичным.

Любую функцию времени с допустимой погрешностью можно разложить на совокупность типовых воздействий с соответствующи­ми коэффициентами веса. Тогда по принципу суперпозиции реакция на это воздействие определится как сумма реакций линейной системы на отдельные воздействия, принцип вычисления которых известен.

Переходной функцией h(t) называется реакция системы на еди­ничный скачок 1(t) при нулевых начальных условиях. Реакция на скачок произвольной величины называется кривой разгона.

Импульсной (весовой) функцией g(t) называется реакция систе­мы на единичный импульс δ(t) при нулевых начальных условиях.

Основным инженерным методом решения дифференциальных уравнений, т. е. исследования поведения САР во времени, является преобразование Лапласа, которое операции дифференцирования и ин­тегрирования заменяет более простыми алгебраическими операциями умножения и деления на комплексную переменную s. Операторная передаточная функция (ПФ) является основной формой описания сис­тем в операторной области по методу один вход, один выход.



Передаточной функцией W(s) называется отношение изобра­жений по Лапласу выходной величины Y(s) к входной X(s) при нулевых начальных условиях. Обычно mn, где n – порядок системы.

По дифференциальному уравнению системы составим ПФ W(s)


,
.
В соответствии с теоремами о начальном и конечном значениях функции времени (оригинала) начальное и конечное (установившееся) значения переходной характеристики равны отношению коэффициен­тов при s в степени n числителя и знаменателя передаточной функции в первом случае, и отношению свободных членов ПФ (коэффициенту усиления в установившемся режиме k(∞) или kуст) во втором.
Начальное значение:

Конечное значение: .


1.3 Указания к работе

Предварительно необходимо для фильтра, входящего в состав регулятора (рисунок 1) и состоящего из звеньев 1-4, вычислить передаточные функции по выходам a, b, c, d относительно входа e сначала в общем виде, а затем с учетом численных значений своего варианта (таблица 1), используя правила структурных преобразований (приложение А).

Для получения экспериментальных переходных характеристик фильтра используется программа TIMECHAR "Временные характери­стики" из библиотеки LinCAD (рисунок 2).

Рисунок 2
Поочередно вводят передаточные функции фильтра Wae(s), Wbe(s), Wce(s), Wde(s) для выходов a, b, c и d на ЭВМ – сначала порядок полинома числителя и его коэффи­циенты, начиная со старшего, затем порядок полинома знаменателя и его коэффициенты, включая нуле­вые. Не забывайте, что разделителем целой и дробной частей числа у программ LinCAD является точка.

На вход фильтра подают сигнал в виде единичного скачка 1(t) и зарисовывают полученный график переходной характеристики h(t) в масштабе рядом с соответствующей передаточной функцией, опреде­ляя числовые значения всех характерных точек (начальное, конечное значения, максимум, минимум). Длительность периода исследования подбирают экспериментально так, чтобы в конце графика переходный процесс заканчивался (кривая шла горизонтально), но в то же время все параметры начальной части характеристики легко определялись. Начать подбор можно с 50-80 секунд, затем уменьшать значение до оптимального. Учитывая периодический характер сигнала, допускает­ся зарисовывать вид реакции только за первую половину периода.

Каждый раз входное воздействие разлагается в ряд Фурье
,
постоянная составляющая a0, частота первой гармоники ω и коэффи­циенты Ak, Bk части гармоник которого (не более пятнадцати) выво­дятся для иллюстрации на экран. Поскольку отклик фильтра является суммой реакций на гармонические воздействия, число m которых ог­раничено, отсутствие высших гармоник может искажать начальную часть кривой – снижать ее максимальное значение при t = 0.
1.4 Методический пример

Передаточная функция фильтра по выходу a относительно входа e



.
Переходная характеристика haе(t) должна иметь начальное значение b0/a0 = 3.2/2 = 1.6 и конечное значение bm/an = 1.6/1 = 1.6.

1.5 Содержание отчета

Отчет по лабораторной работе должен содержать название, цель работы, структурную схему фильтра с обозначениями входа и выхо­дов, затем для каждого типа фильтра – передаточную функцию в об­щем виде и после подстановки численных значений, рядом получен­ную переходную характеристику h(t) в масштабе, с числовыми дан­ными и обозначениями.

К защите знать назначение преобразования Лапласа, правила вычисления передаточной функции по структурной схеме, все типо­вые воздействия и временные характеристики. Уяснить взаимосвязь вида передаточной функции и соответствующей переходной характе­ристики фильтра с учетом свойств преобразования Лапласа, т.е. пра­вил вычисления начального и конечного значений оригинала, уметь по виду передаточной функции представить вид переходной характе­ристики и наоборот.


2 Исследование частотных характеристик фильтра



2.1 Цель работы

Целью работы является изучение типовых частотных характеристик САР, исследование реакции на гармоническое воздействие в частотной области звеньев (фильтров) с разной передаточной функцией.


2.2 Общие сведения

Основной формой описания систем в частотной области является частотная передаточная функция или комплексный коэффициент передачи


.
Зависимости отношения амплитуд A() и разности фаз () вы­ходного и входного гармонического сигналов системы от частоты  в установившемся режиме называются соответственно амплитудной (АЧХ) и фазовой (ФЧХ) частотными характеристиками. АЧХ начина­ется при значении bm/an = kуст и заканчивается в нуле (для m) или при b0/a0 (для m= n). P(ω) = ReW(jω) или вещественная частотная ха­рактеристика (ВЧХ) соответствует проекции вектора W(jω) на дейст­вительную ось, Q(ω) = ImW(jω) или мнимая частотная характеристика (МЧХ) соответствует проекции вектора W(jω) на мнимую ось.

Обобщающей является амплитудно-фазовая частотная характе­ристика (АФЧХ или просто АФХ) – графическое изображение частот­ной передаточной функции W(jω) на комплексной плоскости.



Кривая (годограф), которую чертит на комплексной плоскости конец вектора при изменении частоты ω от 0 до +∞, на­зывается АФЧХ.

Реакцию системы на гармоническое воздействие любой частоты ω в показательной форме получают путем умножения на А(ω) при этой частоте амплитуды входного сигнала и добавления φ(ω) к его фа­зе.

Частотные характеристики системы можно изменять желаемым образом с помощью специальных корректирующих звеньев (фильт­ров). Фильтром называется четырехполюсник, предназначенный для выделения из состава сложного входного сигнала частотных состав­ляющих, расположенных в полосе пропускания, и подавления частот­ных составляющих, расположенных в полосе задерживания.

В зависимости от взаимного расположения полос пропускания и задерживания различают (рисунок 3):


а б в г


Рисунок 3
а) фильтр низких частот (ФНЧ) с полосой пропускания от нуля до 2 и полосой задерживания от частоты з2 > 2 до бесконечности;

б) фильтр верхних частот (ФВЧ) с полосой пропускания от час­тоты 1 до бесконечности и полосой задерживания от нуля до частоты з1 < 1;

в) полосовой фильтр (ПФ) с полосой пропускания, заключенной между частотами 1 и 2 и полосой задерживания частот меньших, чем з1, и больших, чем з2;

г) заграждающий (режекторный) фильтр (РФ) с полосой задерживания, заключенной между частотами з1 и з2, и полосой пропускания частот меньших, чем 1, и больших, чем 2.


2.3 Указания к работе

Используя программу FREQCHAR "Частотные характеристики" из библиотеки LinCAD (рисунок 4) и рассчитанные в предыдущей Ра­боте передаточные функции фильтра по выходам a, b, c, d относи­тельно входа e, получить на ЭВМ (для логарифмического масштаба изменения частоты) и зарисовать в отчет АЧХ и ФЧХ для каждой пе­редаточной функции. Начальное и конечное значения частот подби­рают экспериментально, так, чтобы значительное изменение АЧХ приходилось примерно на середину графика, а в левой и правой части графика АЧХ была горизонтальной (можно начать подбор с частот 0.01 и 100).



Рисунок 4
Найти для каждого типа фильтра полосы пропускания и задер­живания, построив по реальным характеристикам асимптотические (прямолинейные) и определив по точкам пересечения отрезков часто­ты сопряжения (граничные частоты полос), обозначить, какому типу фильтра соответствует каждая передаточная функция и график. Каса­тельные к горизонтальным и наклонным участкам АЧХ (асимптоты) можно строить прямо на экране монитора, совмещая с получаемыми графиками линейку. Значения характеристик для конкретной точки получают в окне просмотра, перемещая стрелками курсора указатель по рабочему полю к месту сопряжения отрезков (касательных).
2.4 Методический пример

Передаточная функция фильтра по выходу a относительно входа e



.
Полученные амплитудная и фазовая частотные характеристики соответствуют заграждающему фильтру (РФ) с полосой задерживания на частоте ωз = 0.697 рад/с, полосой пропускания менее частоты ω1 = 0.032 рад/с и более частоты ω2 = 1.462 рад/с. Начальное значение АЧХ равно bm/an = 1.6/1 = 1.6, конечное b0/a0 = 3.2/2 = 1.6.

2.5 Содержание отчета

Отчет по лабораторной работе должен содержать название, цель работы, для каждого из четырех фильтров рассчитанную передаточ­ную функцию и полученную характеристику в масштабе с измерен­ными значениями амплитуды в характерных точках, частотами про­пускания, задерживания и другими необходимыми обозначениями.

К защите знать все виды частотных характеристик, их смысл, методы вычисления и построения, формулировки, типы фильтров и вид их характеристик. Уяснить связь вида передаточной функции и соответствующей амплитудной частотной характеристики, т.е. уметь по виду передаточной функции построить АЧХ фильтра в соответст­вующем масштабе. Уметь определить с помощью АЧХ выходной сиг­нал по входному для заданной частоты и типа фильтра. Объяснить на­звания полос пропускания и задерживания.


3 Исследование устойчивости по критерию Михайлова



3.1 Цель работы

Целью работы является изучение методов оценки устойчивости САР, исследование устойчивости системы с помощью частотного критерия Михайлова.


3.2 Общие сведения

Устойчивость – это свойство системы возвращаться в исходное состояние равновесия после снятия воздействия, выведшего систему из этого состояния.

Признаки (условия) устойчивости линейной системы:

а) физический – система устойчива, если свободная состав­ляющая yсв(t) переходного процесса с увеличением времени стремится к нулю, неустойчива – если она стремится к бесконечности, и ней­тральна, если она стремится к некоторой постоянной величине;

б) математический – для устойчивости линейной системы необ­ходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического урав­нения имели отрицательную действительную часть(все полюса сис­темы были левыми). Система находится на апериодической границе устойчивости, если при остальных левых корнях характеристического уравнения имеет один нулевой корень, и на колебательной (периоди­ческой) границе устойчивости, если при остальных левых корнях име­ет пару чисто мнимых корней. Характеристическое уравнение образуется из знаменателя передаточной функции системы D(s) = 0.

При невозможности вычислить корни используют косвенные признаки – критерии устойчивости. Алгебраические критерии (Гурви­ца, Рауса) оценивают устойчивость системы по значениям коэффици­ентов характеристического уравнения, частотные критерии (Михай­лова, Найквиста) – по виду частотных характеристик системы.

Критерий Михайлова основан на исследовании характеристиче­ской функции D(jω) = U(ω) + jV(ω), полученной из характеристиче­ского многочлена подстановкой s = jω.

Основная формулировка: система n-го порядка устойчива, если кривая Михайлова, начинаясь при = 0 на действительной положи­тельной полуоси, проходит при изменении частоты от нуля до плюс бесконечности последовательно против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости.

Дополнительная формулировка (следствие или форма 2): сис­тема устойчива, если четная U() и нечетная V() функции при из­менении частоты от нуля до плюс бесконечности обращаются в нуль поочередно, начиная с нечетной функции, т.е. их корни переме­жаются. Для построения графика используется та же таблица частот, что и в основной форме.


3.3 Указания к работе

Предварительно следует найти главную передаточную функ­цию системы (рисунок 1) Wyr(s) по выходу y относительно входа r с учетом параметров блоков 5 и 6 – сначала в общем виде, затем с чис­ленными значениями данных по своему варианту (значение коэффи­циента обратной связи k ос принять равным единице).

Используя программу MICHCHAR "Критерий Михайлова" из библиотеки LinCAD и характеристическое уравнение системы (зна­менатель передаточной функции), необходимо получить кривую Ми­хайлова на комплексной плоскости (рисунок 5) с таблицей частот, со­ответствующих пересечениям кривой с осями координат и крайним точкам кривой по каждой оси. Кривая Михайлова представляет собой раскручивающуюся спираль, уходящую в бесконечность. Поэтому диапазон частот следует подобрать экспериментально, от нуля до зна­чения частоты, при котором кривая последний раз пересекает какую-либо ось, для более точного определения координат пересечения дей­ствительной и мнимой осей и желаемого вида кривой Михайлова.



Рисунок 5
Таблица особых частот включает только минимум точек, поэто­му, пользуясь перемещающимся маркером, желательно определить координаты точек, соответствующих наибольшим отклонениям по действительной или мнимой оси, и добавить их в таблицу. По расши­ренной таблице нужно построить кривую Михайлова в произвольном масштабе, по ее виду дать заключение об устойчивости системы. Если какой-либо оси не оказалось на графике, ее следует дорисовать при­ближенно, а на кривой поставить стрелку в сторону увеличения часто­ты.

Самостоятельно, используя полученную таблицу частот, по­строить графики четной U(ω) и нечетной V(ω) функций в соответст­вии со второй формой (следствием) критерия Михайлова, проверить сделанный ранее вывод об устойчивости системы. На всех графиках обязательно нужно указывать порядок системы (полинома) n.


3.4 Методический пример

Характеристическое уравнение САР


D(s) = s4 + 2s3 + 3s2 + 4s + 5 = 0.
Расширенная таблица частот


ω, рад/с

U(ω)

V(ω)

0.000

5.000

0.000

0.800

3.490

2.176

1.230

2.750

1.198

1.427

3.037

-0.101

1.700

4.177

-2.280

Годограф характеристической функции D(jω)



Система неустойчива, поскольку кривая Михайлова, начинаясь на положительной действительной оси, не проходит последовательно против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, где n=4 – порядок системы.

Графики четной и нечетной функций.



Система неустойчива, поскольку графики четной U(ω) и нечет­ной V(ω) функций, начинаясь с V(ω) = 0, не пересекают при возраста­нии частоты ось частот поочередно.
3.5 Содержание отчета

Отчет по лабораторной работе должен содержать название, цель работы, главную передаточную функцию системы в общем виде и по­сле подстановки численных значений, характеристическое уравнение системы, полученные на ЭВМ таблицу частот и кривую Михайлова, построенный самостоятельно график четной и нечетной функций с за­ключением об устойчивости системы. На всех графиках должны быть указаны значения параметров в точках пересечения кривых с осями координат, порядок системы, обозначены оси и каждая кривая при ко­личестве характеристик более одной.

К защите знать физический и математический признаки устой­чивости систем, названия основных критериев устойчивости, форму­лировку критерия Михайлова и его следствия, методику построения кривой Михайлова вручную.

4 Выбор параметров регулятора методом D-разбиения
4.1 Цель работы

Целью работы является изучение методов проектирования сис­тем с достижением заданных параметров устойчивости, в частности, метода D-разбиения по двум параметрам.



4.2 Общие сведения

Метод используется при синтезе систем для определения допус­тимых по условиям устойчивости пределов изменения некоторых па­раметров системы – обычно коэффициента усиления k или постоян­ной времени T регулятора.



Процесс построения в пространстве параметров системы об­ластей с разным числом правых корней характеристического урав­нения называется D-разбиением.

Областью устойчивости D(0) называют область в пространстве изменяемых параметров, каждой точке которой соответствуют только левые корни характеристического уравнения. Остальные D-области отличаются числом правых корней характеристического уравнения и обозначаются соответственно D(1) – область с одним правым полю­сом, D(2) – с двумя и т.д.

Граница любой D-области является отображением мнимой оси плоскости корней, она соответствует совокупности значений парамет­ров, при которых хотя бы один корень характеристического уравне­ния системы находится на мнимой оси.

Если система в пространстве всех своих параметров не имеет области устойчивости, она является структурно неустойчивой. На практике используют D-разбиение по одному параметру (результатом является отрезок на условной плоскости) и по двум параметрам (ре­зультатом является плоскость).

В случае D-разбиения по одному параметру все построения производят, изменяя значения одного параметра при постоянстве ос­тальных. Чтобы получить плоскость, вещественный параметр искус­ственно делают двумерным, заменяя s = j с образованием мнимой оси, однако окончательным результатом является отрезок на действи­тельной оси.

Подставив s = j в характеристическое уравнение системы, раз­решают его относительно изменяемого параметра, находят четную (действительную) U() и нечетную (мнимую) V() функции. Изменяя частоту от 0 до плюс бесконечности, строят кривую D-разбиения и ее зеркальное отображение относительно действительной оси. Двига­ясь по кривой от точки = - до точки = +, наносят штриховку слева от кривой. (Напомним, что кривая D-разбиения является ото­бражением мнимой оси, а при движении по этой оси от -j к +j об­ласть устойчивости на плоскости корней располагается слева).

Направление штриховки указывает на область с наибольшим числом левых корней. При каждом переходе через кривую навстречу штриховке один корень характеристического уравнения становится правым, в обратном направлении – левым. Выбранную область-пре­тендент D(0) проверяют на устойчивость с помощью любого крите­рия, подставив значение параметра из этой области в характеристиче­ское уравнение. Поскольку изменяемый параметр является действи­тельной величиной, его допустимые значения лежат на отрезке дейст­вительной оси, заключенном внутри области устойчивости D(0).

Критическим называется значение параметра системы или ко­эффициента характеристического уравнения, при котором система на­ходится на границе устойчивости.

Для проверки области-претендента на устойчивость системы четвертого порядка удобен критерий Гурвица, у которого должны вы­полняться два условия: необходимое – все коэффициенты характери­стического уравнения положительны, и достаточное – определитель третьего порядка 3 = a32a12a4 = a3·(a1a2 - a0a3) – a12a4 > 0.


4.3 Указания к работе

В работе производится выбор значения коэффициента усиления k1 регулятора, вошедшего в коэффициент характеристического урав­нения an, по условию устойчивости системы при номинальных значе­ниях остальных коэффициентов.

Предварительно следует выразить аналитически зависимость коэффициента характеристического уравнения an от коэффициента k1.

Используя программу DRAZBTWO "D-разбиение по двум па­раметрам" из библиотеки LinCAD и характеристическое уравнение системы из предыдущей работы, получить на плоскости параметров область устойчивости при изменении в заданном диапазоне коэффи­циента an и одного из коэффициентов a1 - an-1, оставив номинальными значения остальных коэффициентов. Какой из коэффициентов a1 - an-1 лучше выбрать для изменения, подбирают экспериментально по наи­более характерному проявлению областей устойчивости, при этом его значение рекомендуется задавать в пределах 0.9-1.1 номинального.

На линии, соответствующей номинальному значению неоснов­ного коэффициента a1 - an-1, определить критическое значение an, кр , соответствующее пересечению границы области устойчивости, а в са­­мой области устойчивости выбирается желаемое значение an прибли­зительно равноудаленным от границ области (рисунок 6).

Самостоятельно оценить устойчивость системы по критерию Гурвица после подстановки выбранного значения an в характеристи­ческое уравнение. Если устойчивость системы обеспечивается, по вы­бранной величине an найти значение k1, которое должно использо­ваться во всех последующих работах взамен первоначально заданно­го. При нулевом значении k1 следует немного изменить выбранное значение an в сторону увеличения.



Рисунок 6
4.4 Методический пример

Характеристическое уравнение системы


D(s) = a0 s4 + a1s3 + a2 s2 + a3 s + a4 =

= s4 + 2s3 + 3s2 + 4s + 2 = 0.
Области устойчивости в пространстве коэффициентов 2 < a2 < 4 и 0 < a4 < 5.


При номинальной величине a2 = 3 критическое значение равно a4, кр1 = 0 в сторону уменьшения и a4, кр2 = 2 в сторону увеличения, оптимальное значение по устойчивости выбираем равным a4 = 1.1.

Для проверки области-претендента на устойчивость по крите­рию Гурвица подставляем выбранное значение в характеристическое уравнение:

- характеристическое уравнение D(s) = s4 + 2s3 + 3s2 + 4s + 1.1 = 0;

- условие 3 = a3·(a1a2 - a0a3) – a12a4 = 8 – 4.4 =∙3.6 > 0 выполняется.

Принимая значение a4 = 1.1, находим необходимое значение коэффициента k1 = (a4 – 1)/k2k3 = (1.1 – 1)/(0.1∙10) = 0.1.

Рассчитанная с новым значением k1 передаточная функция САР


.
4.3 Содержание отчета

Отчет по лабораторной работе должен содержать цель работы, характеристическое уравнение системы D(s) = 0, полученный на ЭВМ график областей D-разбиения с обозначением величин и масштаба по обеим осям, обозначением областей D( ) и штриховкой в сторону об­ласти устойчивости, визир с координатами выбранной точки, крити­ческое значение an, кр, выбранное значение an, проверку устойчивости системы при этом значении по критерию Гурвица, зависимость an от коэффициента k1, рассчитанное значение k1 и вид передаточной функ­ции системы после подстановки k1.

К защите знать основные определения метода D-разбиения по одному параметру, порядок построения кривых, штриховки, выбора параметра, формулировки и порядок применения критериев Гурвица и Рауса, определение для критического параметра.


5 Коррекция системы методом корневого годографа



5.1 Цель работы

Целью работы является изучение методов проектирования сис­тем по корням характеристического уравнения при заданных показа­телях качества регулирования.


5.2 Общие сведения

Корневые оценки учитывают влияние на вид переходного про­цесса положения полюсов и нулей системы на комплексной плоско­сти. Качество регулирования оценивают лишь для устойчивых систем.

Корни, ближайшие к мнимой оси, назы­вают доминирующими, если влиянием осталь­ных корней можно пренебречь (остальные кор­ни находятся в 5-10 раз дальше от мнимой оси).

Расстояние от мнимой оси до ближайше­го к ней корня характеристического уравнения (пары комплексных сопряженных корней) на­зывается степенью устойчивости αmin или η, оно характеризует быст­родействие системы. Максимальное по модулю отношение мнимой части корня к действительной из имеющихся по­люсов называется степенью колебательности системы.

К основным показателям качества регулирования относятся время регулирования (длительность процесса) и перерегулирование (размах качаний при переходном процессе). Для оценки времени регулирования tрег находят сначала степень устойчивости системы αmin или η, откуда при ошибке ∆=5 %
.
Для оценки перерегулирования  определяют степень колеба­тельности μ системы, а затем значение перерегулирования . При нескольких парах комплексных корней максимальное значение μ у того корня, который первым встречается лучу, проведенному из на­чала координат по положительной мнимой полуоси и поворачиваемо­му против часовой стрелки. При единственной паре комплексных корней необходимость выбора отпадает.

Совокупность траекторий, описываемых на комплексной плос­кости корнями характеристического уравнения замкнутой системы при изменении одного из ее параметров от 0 до ∞, называется корне­вым годографом.

Поскольку обычно делают оценку для замкнутой системы, то в ее характеристическое уравнение попадают и нули, и полюса разомк­нутой системы. Если , то . Чаще всего изменяют k – коэффициент усиления регулятора, вычис­ляют для каждого его значения корни и наносят их на комплексную плоскость.

При построении корневого годографа обычно используют или учитывают его свойства:

- число ветвей корневого годографа равно степени характеристиче­ского уравнения;

- ветви комплексных частей корневого годографа симметричны отно­сительно действительной оси;

- точки расхождения ветвей на действительной оси соответствуют кратным действительным корням характеристического уравнения;

- при k, стремящемся к нулю, траектории корней начинаются в полю­сах передаточной функции разомкнутой системы;

- при k, стремящемся к бесконечности, m траекторий корней заканчи­ваются в нулях передаточной функции разомкнутой системы, а ос­тальные n-m ветвей асимптотически уходят в бесконечность. Здесь m – это порядок полинома числителя, а n – порядок полинома знамена­теля передаточной функции системы.


5.3 Указания к работе

В работе производится выбор значения коэффициента обратной связи kос в звене 6, ранее принимаемого равным единице, по условию получения минимального времени регулирования.

Поскольку этот коэффициент попадает в свободный член характеристического уравнения an, предварительно следует выразить аналитически зависимость этого коэффициента от коэффициента kос, учитывая новое значение k1, полученное в предыдущей работе.

Используя программу ROOTLOCS "Корневой годограф" из биб­лиотеки LinCAD и характеристическое уравнение системы из преды­дущей работы, получить корневой годограф системы (рисунок 7) при изменении коэффициента an в задаваемом диапазоне (от нуля до зна­чения, при котором корни перемещаются вправо от мнимой оси). Пе­ремещая маркер по годографу, найти значение коэффициента, при ко­тором все корни максимально удалены от мнимой оси. При этом и бу­дет обеспечиваться наименьшее возможное время регулирования (наибольшее значение степени устойчивости).



Рисунок 7
Перенести корневой годограф в отчет с обозначением осей и масштаба, показать стрелками на ветвях направления движения кор­ней при увеличении an, провести линию степени устойчивости и луч выбора корней для оценки степени колебательности. Возле точек, соответствующих наименьшему, наибольшему и выбранному значе­ниям коэффициента an подписать значения этого коэффициента. До­пускается полюс, далеко отстоящий от мнимой оси, не показывать, если это не нарушает наглядности выбора показателей качества.

Для выбранного значения an записать соответствующие ему ве­личины времени регулирования tрег, перерегулирования  и получен­ное значение коэффициента обратной связи kос.


5.4 Методический пример

Характеристическое уравнение системы


D(s) = s4 + 2s3 + 3s2 + 4s + (k1k2k3koc + 1) =

= s4 + 2s3 + 3s2 + 4s + 1.1 = 0.
Принимаем диапазон изменения коэффициента a4, включающе­го коэффициент обратной связи, в пределах граничных значений 0-2, найденных в предыдущей работе.
Таблица значений корней знаменателя ПФ





Значение коэффициента а4

а4, min = 0.000

а4, max = 2.000

а4, опт = 0.523

полюса

системы


0.000

-1.000

-0.145

-0.174 + j1.547

-1.000

-0.140 + j1.506

-0.174 - j1.547

0.000 + j1.414

-0.140 - j1.506

-1.650

0.000 - j1.414

-1.574

Корневой годограф



Показатели качества для выбранного значения а4 = 0.523: время регулирования tрег = 21.36 с, перерегулирование σ = 0.746 или 74.6 %.

Вычисленное значение коэффициента обратной связи



kос = (a4 – 1)/k1k2k3 = (0.523 – 1)/(0.1∙0.1∙10) = -0.477/0.1 = -4.77.
5.5 Содержание отчета

Отчет по лабораторной работе должен содержать название, цель работы, характеристическое уравнение системы, корневой годограф с осями, нанесенными ветвями и таблицей, содержащей значения всех полюсов не менее, чем для трех значений an, включая наименьшее, наибольшее и окончательно выбранное, значения выбранных времени регулирования и перерегулирования, вид зависимости коэффициента характеристического уравнения an от коэффициента kос, полученное значение kос.

К защите нужно знать все определения по корневому годографу и корневым оценкам качества регулирования, свойства корневого годографа, уметь самостоятельно определить доминирующие корни, время регулирования и перерегулирование по расположению корней на комплексной плоскости.

6 Исследование прямых оценок качества регулирования



6.1 Цель работы

Целью работы является изучение методов проектирования сис­тем с использованием прямых показателей качества регулирования в переходном и установившемся режимах.


6.2 Общие сведения

Показатели качества, определяемые непосредственно по пере­ходным характеристикам, называют прямыми оценками качества, а сам метод их вычисления называется прямым. Менее точные методы оценки качества называются косвенными, к ним относятся корневые, частотные и интегральные методы.



Время регулирования tрег равно времени от начала переходного процесса до момента, после которого характеристика не отклоняется от установившегося значения более, чем на величину допустимой ошибки ∆ (рисунок 8). Зону допустимой ошибки ∆=0,05·h(∞) или ∆=0,05·ε(0) откладывают по обе стороны от линии установившегося значения. При ненулевых начальном или установившемся значениях в качестве допустимой зоны принимают 5 % от разницы |h(∞)–h(0)| или |ε(∞)–ε(0)|.

а) – выходная величина y(t) б) – ошибка регулирования ε(t)

или h(t) или отклонение δ(t)

Рисунок 8


Перерегулированием σ называется величина максимального от­носительного заброса переходной характеристики от начальной вели­чины за линию установившегося значения (в относительных единицах или процентах)
или .
Перерегулирование характеризует склонность системы к коле­баниям, рекомендуются значения не более 15…30 %.

Время нарастания tн, характеризует скорость реакции в началь­ный период, оно определяется как:

- время от начала процесса до момента пересечения кривой с линией установившегося значения – этот метод не подходит для оценки мо­нотонных процессов, когда характеристика приближается к устано­вившемуся значению асимптотически в течение бесконечного интер­вала времени;

- промежуток времени между моментами достижения заданных уров­ней (например, 10 и 90 % установившегося значения) – более универ­сальный метод.

Очевидно, что при определении времени нарастания следует обязательно указывать, каким способом оно получено.

Время достижения первого максимума tmax (подразумевается, что первый максимум кривой является и наибольшим из всех).

Коэффициент колебательности N – число забросов переходной характеристики через линию установившегося значения за время ре­гулирования.

Установившаяся ошибка характеризует точность системы в ста­тическом режиме, после окончания переходного процесса. Если уста­новившаяся ошибка ε(∞) = 0, система называется астатической, для случая ε(∞) 0 система называется статической. Статическая систе­ма всегда имеет ошибку регулирования, которую можно уменьшить, увеличивая общий коэффициент усиления системы.


6.3 Указания к работе

Предварительно для построения переходных характеристик по выходу e(t) относительно входа r(t) и выходу y(t) относительно входа f(t) необходимо рассчитать обе соответствующие передаточные функ­ции с учетом окончательно выбранных k1 и kос (работы 4 и 5). Исполь­зуется программа EILERPIC "Переходная характеристика" из библио­теки LinCAD, которая по введенным коэффициентам числителя и знаменателя передаточной функции строит отклик системы на еди­ничный скачок от нуля до заданного момента времени (рисунок 9).

Длительность периода исследования подбирают эксперимен­тально так, чтобы к концу периода переходный процесс заканчивался, но в то же время все параметры характеристики легко определялись. После нанесения на график вспомогательных построений и необхо­димых вычислений должны быть определены (с учетом масштаба) значения перерегулирования, времени регулирования, коэффициента колебательности, времен нарастания и максимума, сделана оценка – к какому виду систем (астатические, статические) относится данная система регулирования.



Рисунок 9
6.4 Методический пример

Передаточная функция системы по выходу e(t) относительно входа r(t) равна



.
Переходная характеристика ошибки регулирования εr(t)

6.5 Содержание отчета

Отчет по лабораторной работе должен содержать название, цель работы, передаточную функцию системы по выходу e(t) относительно входа r(t), передаточную функцию системы по выходу y(t) относи­тельно входа f(t), обе переходные характеристики ошибки регулиро­вания ε(t) в масштабе с необходимыми графическими построениями и найденными из каждого графика значениями прямых оценок качества, заключение о точности системы в установившемся режиме относи­тельно данного входа и данного вида воздействия.

К защите знать существующие методы определения показателей качества регулирования, знать определения и методику графического измерения прямых оценок качества по переходной характеристике, принципы деления систем по величине установившейся ошибки.


7 Оценка запасов устойчивости системы регулирования




7.1 Цель работы


Целью работы является изучение методов определения количе­ственных оценок запасов устойчивости системы с помощью частотно­го критерия устойчивости Найквиста в логарифмической форме.

7.2 Общие сведения


Логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ) или диа­граммы Боде позволяют упростить построения за счет замены реаль­ной характеристики асимптотической; упростить расчеты за счет за­мены умножения коэффициентов последовательных звеньев геомет­рическим сложением графиков; растянуть низкочастотный диапазон исследования системы и сжать высокочастотный.

Зависимость L(ω)=20lgA(ω) от lg(ω) называется логарифмиче­ской амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ) или ЛАХ.

Зависимость φ(ω) от lg(ω) называется логарифмической фаз­ной частотной характеристикой (ЛФЧХ) или просто ЛФХ.

Используемые единицы измерения: для ЛАЧХ L(ω) – децибелы или дБ, для ЛФЧХ φ(ω) – градусы, для частоты ω, откладываемой по оси абсцисс – декады (дек). Декадой называется отрезок частот, равный изменению частоты в 10 раз.



Замкнутая система устойчива, если в момент пересечения ЛФЧХ разомкнутой системы линии -180 ее ЛАЧХ отрицательна.

Запас устойчивости замкнутой системы по амплитуде Aм, дБ, определяется в момент пересечения ЛФЧХ разомкнутой системы ли­нии -180 градусов как абсолютное значение разницы между осью L(ω)=20lgA(ω)=0 и значением ЛАЧХ, если оно при этом отрицатель­но. Запас устойчивости по фазе φм, град, определяется как абсолютное значение разницы между значением -180 и значением ЛФЧХ на час­тоте среза. Частота среза соответствует точке пересечения ЛАЧХ с осью частот, т.е. значению L(ω)=20lgA(ω)=0. При отрицательном ко­эффициенте усиления чаще всего запас по амплитуде определяется для значения ω → 0.

Рекомендуемые значения запасов устойчивости: при определе­нии по АФЧХ Ам ≥ 0.5, φм ≥ 30-60 градусов, при определении по ЛЧХ Ам ≥ 6-12 дБ, запас по фазе остается тем же.

7.3 Указания к работе


Предварительно вычисляют передаточную функцию Wраз(s) ра­зомкнутой системы по контуру главной обратной связи при исклю­ченном сумматоре и выбранных ранее значениях k1 и kос.

Для построения логарифмических характеристик используется программа BODECHAR "Логарифмические характеристики" из биб­лиотеки LinCAD (рисунок 10).



Рисунок 10
По введенным коэффициентам полиномов числителя и знамена­теля передаточной функции Wраз(s) в заданном диапазоне изменения частоты  программа строит графики логарифмической амплитудной (ЛАЧХ) и фазной (ЛФЧХ) частотных характеристик, численные зна­чения которых можно просматривать в рамке, перемещая стрелками курсора указатель по рабочему полю. Начальное и конечное значения частот подбирают экспериментально, так, чтобы все изменения на­правления ЛАЧХ умещались на графике (можно начать подбор с час­тот 0.01 и 100 рад/с).

Дополнительно программа вычисляет добротность системы, порядок астатизма, частоты сопряжения, указывает кратность для комплексных сопряженных корней и направление асимптоты – вверх для корней числителя, вниз – для корней знаменателя. Эти данные помогают понять принципы построения асимптотической ЛАЧХ.



7.4 Методический пример

Передаточная функция разомкнутой системы




Логарифмические частотные характеристики


Из-за отрицательного коэффициента усиления запас устойчиво­сти по амплитуде измеряем на частоте, близкой к нулю (в начале гра­фика), он равен Ам = 0.523 или 6.99 дБ. Запас устойчивости по фазе равен максимальному значению φм = 180 град, поскольку ЛАЧХ отри­цательна во всем диапазоне частот, частота среза отсутствует. Значе­ния запасов удовлетворяют стандартным требованиям к САР.




7.5 Содержание отчета


Отчет к лабораторной работе должен содержать название, цель работы, структурную схему системы с указанием точек размыкания контура обратной связи, передаточную функцию разомкнутой систе­мы, окончательный вид ЛФЧХ и ЛАЧХ в соответствующем масштабе с необходимыми графическими построениями, найденные значения запасов устойчивости по амплитуде и фазе с учетом единиц измере­ния – на графике и отдельно, с указанием частот, которым соответст­вуют эти запасы.

К защите необходимо знать формулировки критерия Найквиста в обычном и логарифмическом виде, особенности его применения, методику построения асимптотической ЛАЧХ и расчета необходимых для этого параметров, единицы измерения ЛЧХ, нормы запасов ус­тойчивости при их оценке по АФЧХ и ЛЧХ.




Литература

1 Бороденко В.А. Практический курс теории линейных систем автоматического регулирования. – Павлодар : Кереку, 2007. – 260 с.

2 Ерофеев А.А. Теория автоматического управления. – 2-е изд., перераб. и доп. – СПб. : Политехника, 2005. – 302 с.

3 Электрические системы. Математические задачи электро­энергетики: учебник для студентов вузов / под ред. В. А. Веникова. – 2-е изд., перераб. и доп. – М. : Высш. школа, 1981. – 288 с.

4 Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления / под ред. В.А. Бесекерского. – 5-е изд. – М. : Наука, 1978. – 512 с.

Приложение А

(справочное)



Структурные преобразования
Для анализа или синтеза систему представляют структурной схемой, состоящей из звеньев, ветвей, узлов и сумматоров. Звено или блок обычно изображается прямоугольником, имеющим вход и выход с указанием функции преобразования внутри. Узлы (места разветвления сигнала) обозначаются на графической схеме точкой с диаметром 1,5-2 мм. Ветвь (связь) представляется линией со стрелкой в конце, отображающей направление движения сигнала. Сумматоры (элементы сравнения) представляют собой места схождения сигналов.



Они обозначаются либо пустым кружком среднего размера (крупнее уз­ла), либо крупным кружком, перечерк­нутым крест накрест прямыми линиями.

Сумматор, как правило, имеет не более трех входов, не более одного выхода и коэффициент передачи k = 1. Все входы сумматора независимы друг от друга. Если на входе сумматора производится из­менение знака сигнала (инвертирование), т. е. по этому входу коэф­фициент сумматора равен минус единице, вход называется инверти­рующим, а сумматор – элементом сравнения. Такой вход сумматора обозначается минусом для изображения в виде пустого кружка, и за­тушеванным сектором для обозначения в виде крупного кружка.

Обычно при известных функциях передачи отдельных звеньев требуется найти эквивалентную передаточную функцию (ПФ) объе­динения звеньев (объекта, регулятора), либо всей системы в целом. Для этого используют правила структурных преобразований:

1) Последовательное соединение звеньев.

Эквивалентная передаточная функция последовательно соеди­ненных звеньев равна произведению передаточных функций этих звеньев.

2) Параллельное соединение звеньев.



Эквивалентная передаточная функция параллельно соединенных звеньев равна сумме передаточных функций этих звеньев (с учетом знака входа сумматора на пути сигнала).

3) Соединение с обратной связью (встречно-параллельное).



Эквивалентная передаточная функция соединения с обратной связью равна дроби, в числителе которой записана ПФ звена на пря­мом пути от входа к выходу, а в знаменателе – единица минус произ­ведение ПФ звеньев по замкнутому контуру обратной связи (ЗКОС).

4) Перенос воздействий в системах с перекрестными связями (правило структурных преобразований, применяющееся, если система включает соединения смешанного типа – не чисто последовательные, и не чисто параллельные).



Чтобы результирующая система не изменилась, в цепь перено­симого воздействия вводят фиктивное звено с ПФ, равной переда­точной функции потерянных, либо обратной передаточной функции приобретаемых при переносе звеньев.

Смысл правила состоит в том, что любые изменения по сравне­нию с исходной схемой, появляющиеся в системе после ее преобразо­вания, не должны влиять на результирующую передаточную функ­цию.

5) Правило Мейсона.

Правило рассматривает систему как ориентированный граф и позволяет описать ее всю сразу, без преобразований по отдельным фрагментам.



Передаточная функция системы образует дробь, числитель которой равен сумме произведений ПФ прямых путей на совокупные определители ЗКОС, не касающихся этих путей, а знаменатель – единица минус сумма произведений определителей несоприкасающих­ся ЗКОС и передаточных функций общих ЗКОС.

Определитель ЗКОС равен разности единицы и произведения ПФ звеньев по контуру, например, Δ12=1-(-W1W2)=1+W1W2.



При составлении полинома числителя передаточной функции Wzx показанной системы вычисляем ПФ прямого пути от входа х к выходу z (равна коэффициенту переда­чи сумматора 1) и проверяем, что все замкнутые контуры обратной связи касаются этого прямого пути. Данное условие не выполняется, поэтому нужно умножить ПФ прямого пути на определитель несо­прикасающегося с ним ЗКОС Δ23=1-W2W3. При составлении полинома знаменателя передаточной функции убеждаемся, что все замкнутые контуры обратной связи касаются друг друга (имеют общий участок), тогда единица на все контуры одна. Следовательно, записываем в знаменателе единицу и далее плюс-минус произведения ПФ звеньев по каждому ЗКОС. Окончательно в общем виде ПФ равна
.





1   2   3


©netref.ru 2017
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет