Учебное пособие подготовлено в рамках проекта



Pdf көрінісі
бет5/12
Дата30.11.2019
өлшемі11.69 Kb.
түріУчебное пособие
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12

Решение  
1. 
Определим
 
исходные
 
данные
 
для
 
решения
 
этой
 
задачи
 (
см

прил
.1, 
вариант
 0) 
2
δ
= 60 
мм
=0,06 
м
t
о
= 900
о
С
t
ж
= 40
о
С

α
=70 
Вт
/(
м
2
·
о
С
); 
материал
 
пластины
 – 
сталь

λ
=53,6 
Вт
/(
м
·
о
С
); 
ρ
=7830 
кг
/
м
3

с
=0,465 
кДж
/(
кг
·
К
).  
Коэффициент
 
температуропроводности
 
находим
 
по
 
формуле
 (1.39): 
а
=14,7
10
E6 
м
2
/
с

2. 
Вычисляем
 
значение
 
критерия
 
Био
 
по
 
формуле
 (1.40): 



70 0,03
0,0392
53,6
Bi
.  
3. 
По
 
полученной
 
величине
 
критерия
 
Био
 
по
 
прил
.2, 
табл
. I, 
выбираем
 4 
первых
 
значения
 
корней
 
характеристического
 
уравнения

ctg( )
Bi
  
 
 
1
0,1987; 
 
2
3,1543 ; 
 
3
6,2895 ; 
 
4
9,4290 . 
4. 
Вычисляем
 
значения
 
безразмерной
 
избыточной
 
температуры
 
в
 
центре
 
пластины

на
 
ее
 
поверхности
 
и
 
на
 
расстоянии
 
δ
/2 
от
 
центра
 
для
 
Fo=0,1 
по
 
формуле
  






 



 






2
1
2sin
cos
exp(
)
sin
cos
n
n
n
n
n
n
n
x
Fo . (1.42)  
Для
 
удобства
 
делаем
 
расчет
 
в
 
табличной
 
форме
 (
табл
.1.1). 
Т а б л и ц а
  1 . 1  
Формула
 
μ
1
 
μ
2
 
μ
3
 
μ
4
 

2 3 4 5 
μ
n 
0,1987 3,1543 6,2895 9,4290
 
cos μ
n
 0,9803 
E0,9999 0,9999 
E0,9999
sin μ
n
 0,1974 
E0,127 
0,0063 
E0,0042

38 
 
О к о н ч а н и е
 
т а б л
.   1 . 1  

2 3 4 5 
cos μ
n
 sin μ
n
 0,1935 
0,0127 
0,0063 
0,0042 
μ
n
+ cos μ
n
 sin μ
n
 0,3922 
3,1670 
6,2958 
9,4332
 
A=2sin μ
n
/ μ
n
+ cos μ
n
 sin μ
n
 1,0066 
0,008 
0,002 
E0,0089
μ
n

0,395 9,9496 
39,5578 
88,9061
E μ
n
2
Fo E0,00395 E0,9949 E3,9558 
E8,8906
exp(E μ
n
2
Fo) 0,9961 
0,3697 
0,0191 
0,00014
Aexp(E μ
n
2
Fo) 1,0026 
E0,0029 0,00004 
0
 
Aexp(E μ
n
2
Fo) cos μ
n
 0,9829 
0,0029 
0,00004 
0
 
cos (μ
n
/2) 0,9951 
E0,0064 E0,9999 
0,0021
 
Aexp(E μ
n
2
Fo) cos (μ
n
/2) 0,9977 
0,00002 E0,00004 

 
Складываем
 4 
значения
 
в
 
строке
 
под
 
цифрой
 1, 
получаем
 
величину
 
безразмерной
 
избыточной
 
температуры
 
в
 
центре
 
пластины
  (
х
=0), 
сумма
 
в
 
строке
 
под
 
цифрой
 2 
даст
 
значение
 
безразмерной
 
избыточной
 
температуры
 
на
 
поверхности
 
пластины
  (
х
=
δ
), 
сумма
 
в
 
строке
 
под
 
цифрой
 3 – 
значение
 
безразмерной
 
избыточной
 
температуры
 
на
 
расстоянии
 (
х
=
δ
/2). 
  
0 0,9998 , 
    0,9858, 
  

/ 2 0,9978 . 
5. 
Делаем
 
те
 
же
 
вычисления
 
для
 Fo=1,0 (
табл
.1.2). 
 
Т а б л и ц а
  1 . 2  
Формула
  
μ
1
 
μ
2
 
μ
3
 
μ
4
 
E μ
n
2
Fo E0,0395
E9,9496 E39,5578 
E88,9061
exp(E μ
n
2
Fo) 0,9613 
0,00005

0
 
Aexp(E μ
n
2
Fo) 0,9676 
E0,0029

0
 
Aexp(E μ
n
2
Fo) cos μ
n
 0,9486 
0,0029

0
 
Aexp(E μ
n
2
Fo) cos (μ
n
/2) 
0,9628 0,00002


 
Складываем
 
по
 4 
значения
 
в
 
обозначенных
 
строках
 
и
 
получаем
 
значения
 
безразмерных
 
избыточных
 
температур
 
для
 Fo=1,0: 
  
0 0,9676 , 
    0,9486, 
  

/ 2 0,9628 . 
 

39 
 
6. 
Определяем
 
значения
 
физического
 
времени
 
τ
 
для
 
заданных
 
значений
 
критерия
 
Фурье
 
с
 
учетом
 
формулы
 (1.38): 

 
2
Fo
a
, (1.43) 
Fo=0,1 
τ
1
=204,1, 
Fo=1,0 
τ
2
=2040,8. 
7. 
По
 
полученным
 
данным
 
строим
 
графические
 
зависимости
 
без
E
размерной
 
избыточной
 
температуры
 
Θ
 
от
 
координат
 
для
 
каждого
 
мо
E
мента
 
времени
 
τ
i

Для
 
этого
 
по
 
оси
  X 
вправо
 
и
 
влево
 
от
 
оси
  Y 
от
E
кладываем
 
величину
 
δ

На
 
оси
 Y 
откладываем
 3 
значения
 
безразмерной
 
избыточной
 
температуры
 
при
  (
х
=0), 
аналогично
 
на
 
линиях

парал
E
лельных
 
оси
  Y
вправо
 
и
 
влево
 – 
значения
 
Θ
х
=
δ
/2 
и
 
Θ
х
=
δ

Соединяем
 
полученные
 
точки
 
тремя
 
плавными
 
кривыми

Касательные
 
к
 
этим
 
кри
E
вым
 
при
 
х
=
δ
 
должны
 
пересекаться
 
с
 
осью
 
Х
 
в
 
направляющей
 
точке
 
О
 
на
 
расстоянии
 
от
 
поверхности
 
пластины
 
х
=0 (
рис
.1.11). 
  
/
O
 
 
Рис. 1.11. К задаче 6.1 
8. 
Определим
 
количество
 
теплоты

отданное
 
пластиной
 
площадью
  

м
2
 
к
 
моменту
 
времени

по
 
формуле
 (1.41). 
Для
 
этого
 
находим
 
сред
E
нюю
 
безразмерную
 
избыточную
 
температуру
 
по
 
формуле
 



 

  



2
2
2
1
2sin
exp(
)
sin
cos
n
n
n
n
n
n
n
Fo
. (1.44)
 
 
Для  удобства  вычисления  производим  в  табличной  форме 
(
табл.1.3). 

40 
 
Т а б л и ц а 1 . 3  
Формула  
μ
1
 
μ
2
 
μ
3
 
μ
4
 
sin
2
μ
n
 0,0399
0,0002
0,00004 
0,00002
С
n
 sin μ
n
 cos μ
n
  
0,0385
0,0401
0,0397 
0,0398
В=2sin
2
μ
n
/ μ
n
2
С 0,9999
0,00003 0,000002 
0
 
exp(E μ
n
2
Fo

0,9960
0 0 0
 
Вexp(Eμ
n
2
0,1) 
0,9870
0 0 0
 
Вexp(E μ
n
2

 
0,9613
0 0 0 
 
Суммы  в  обозначенных  строках  дают  значения  средней  безразE
мерной избыточной температуры для моментов времени τ. Количество 
отданной пластиной теплоты определим по формуле (1.41): 

1
751,5
Q
 
кВт
;
 

2
7270,7
Q
 
кВт

 
1.6.2. Контрольные вопросы 
1. 
Приведите  примеры  периодических  нестационарных  процессов 
теплопроводности.  
2. 
Приведите  примеры  и  охарактеризуйте  особенности  процесса 
нестационарной  теплопроводности  при  стремлении  тела  к  тепловому 
равновесию.  
3. 
Запишите  дифференциальное  уравнение  нестационарного  проE
цесса теплопроводности без внутренних источников тепла.  
4. 
Поясните  метод  решения  нестационарного  уравнения  теплопроE
водности для пластины.  
5. 
Дайте  определение  критериев  Био  и  Фурье,  поясните  их  физиE
ческий смысл.  
6. 
Что такое безразмерная избыточная температура?  
7. 
Охарактеризуйте особенности решения дифференциального уравнеE
ния нестационарной теплопроводности в зависимости от числа Фурье.  
8. 
Как  определить  время,  необходимое  для  прогрева  середины 
пластины до заданной температуры в случае 
Fo
 > 0,3?  
9. 
В  каком  случае  можно  определить  температуру  центра  или 
поверхности пластины с помощью номограмм?  
10. 
Поясните  сущность  методики  численного  решения  задачи 
стационарной теплопроводности.  
11. 
Запишите  выражения  для  аппроксимации  членов  дифференE
циального уравнения теплопроводности.  
12. 
Перечислите достоинства и недостатки метода конечных разноE
стей при численном решении задач теплопроводности.  
13. 
Поясните  сущность  методики  численного  решения  задачи  неE
стационарной теплопроводности.  

41 
 
Тема 2. КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН 
2.1. Теория подобия применительно к тепловым процессам 
Характер теплового процесса зависит от гидродинамических харакE
теристик  процесса  обтекания  теплоносителем  поверхности  тела, 
формы и геометрии тела, физических свойств теплоносителя и других 
факторов.  Большое  число  факторов  затрудняет  получение  расчетных 
соотношений  для  его  определения.  Математическое  описание  теплоE
вого  процесса  принято  выражать  в  виде  зависимостей  между  числами
 
(
критериями

подобия
представляющими  собой  безразмерные  комE
плексы.  Уравнения  подобия,  выражающие  обобщенную  зависимость 
между величинами, характеризующими процесс, справедливы для всех 
подобных между собой процессов. 
Рассмотрим  пример  обработки  результатов  эксперимента  методом 
теории подобия. 
 
 
2.1.1. Примеры 
Задача 7.1.
 
По трубке диаметром 
d

мм, и длиной , м, течет горячая 
жидкость. Измерения проведены в двух режимах: 

 

режим
Расход  жидкости  через  трубу 
G
1

кг/с,  температура 
жидкости 
1
t

 о
С, 
1
t

 о
С, температура стенки трубы 
t
с


 

режим
Расход  жидкости  через  трубу 
G
2

кг/с,  температура 
жидкости 
2
t

 о
С, 
2
t

 о
С, средняя температура стенки трубы 
t
с
=
5
о
С. 
1. 
Вычислить  значения  критериев Nu, Re, Pe, приняв  в  качестве 
определяющей температуры среднюю температуру жидкости. 
2. 
Расчет произвести для двух вариантов: 
а)  коэффициент  теплоотдачи  отнести  к  средней  арифметической 
разности температур между жидкостью и стенкой; 
б)  коэффициент  теплоотдачи  отнести  к  средней  логарифмической 
разности температур. 
3. 
По  результатам  измерений  в  логарифмических  координатах  по 
двум  точкам  построить  зависимость  вида Nu
=
С
(
Re
)
n
 
и  определить 
коэффициенты С и 
n

Результаты расчетов свести в таблицу. 
 
 
 
 

42 
 
Решение  
1. 
Определим исходные данные для решения этой задачи (см. прил.1, 
вариант 0): 
d
=10 
мм, =1 м, 
G
1
=0,003 
кг/с, 
1
t

=80
о
С, 
1
t

=10
о
С, 
t
с
=5
о
С, 
G
2
=0,03 
кг/с, 
2
t

=80
о
С, 
2
t

=20
о
С, 
t
с
=5
о
С.  
2. 
Делаем расчет для первого режима. Находим определяющую темE
пературу жидкости: 
1
1
1
80 10
45
2
2
o
t
t
t







 о
С. 
3. По величине определяющей температуры для заданной жидкости 
по  прил.2,  табл.II,  выписываем  теплофизические  свойства  для  воды 
при температуре 45
о
С: 
– 
динамический коэффициент вязкости 

 

6
1
601 10
 
Па·с; 
– 
число  Прандтля  (критерий  теплофизических  свойств  среды) 

1
Pr
3,9

– 
коэффициент теплопроводности λ
1
=64,1·10
E2
 
Вт/(м·К); 
– 
теплоемкость с
1
=4,174 
кДж/(кг·К). 
4. 
Находим число Рейнольдса (критерий режима движения среды) 
по формуле 


1
4
Re
G
d
, (2.1) 







1
6
4 0,003
Re
638,3
601 10
3,14 0,01

5.  Определяем  число  Пекле  (критерий  теплового  подобия)  по 
формуле 
Pe RePr

, (2.2) 
1
Pe
638,3 3,9 2489,37




6. 
Находим число Нуссельта (безразмерный коэффициент теплоотE
дачи) по формуле 
Nu
d



. (2.3) 
Для  этого  определяем  коэффициент  теплоотдачи  при  средней 
арифметической  разности  температур  между  жидкостью  и  стенкой  и 
при средней логарифмической разности температур. 
 

43 
 
Средняя арифметическая разность температур 
1
1
1
1
1
(
) (
)
(80 5) (10 5)
40
2
2
c
c
a
t
t
t
t
t





 

 


 о
С. 
Коэффициент  теплоотдачи  для  этой  разности  температур  будет 
равен: 
1
1
1
1
11
1
(
)
p
a
G c
t
t
d
t
 

 
 

, (2.4) 



 


 
11
0,003 4,174 (80 10)
697,882
3,14 0,01 1 40
 Вт/(м
2
·
К). 
Средняя логарифмическая разность температур 
1
1
1
1
л1
1
1
1
1
(
) (
)
(80 5) (10 5)
11,24
ln(((
) / (
)
ln(75 / 5)
c
c
c
c
t
t
t
t
t
t
t
t
t





 

 






 о
С. 
Коэффициент теплоотдачи для этой разности температур  
1
1
1
1
12
л1
(
)
0,003 4,174 (80 10)
2483,57
3,14 0,01 1 11,24
p
G c
t
t
d
t
 




 


 

 

 
Вт/(м
2
·
К). 
Число Нуссельта для первого случая 
12
11
2
1
2483,57 0,01
Nu
3874,52
64,1 10
d









Делаем те же расчеты для второго режима и результаты заносим в 
(
табл.2.1). 
Т а б л и ц а   2 . 1  
Величина  
Режим 1 
Режим 2
 
t
 
80 80
 
t
  
10 20
 

0,003 0,03
 
Re 635,883 
6358,83
 
Pe
 
2479,91 24799,4 
α

697,882 7353,57 
α
2
 
2483,57 24068,7
 
Nu

1088,74 11472,0
 
Nu

3874,52 37548,7 
t
с
 
5 15 
 

44 
 
7.  Строим  график  зависимости lgRe
=f
(lgNu
)

Для  этого  по  оси  Х 
откладываем значения lgRe
1
 
и lgRe
2

а по оси 
Y
 – 
четыре значения lgNu. 
Соединяем  прямыми  линиями  точки,  соответствующие  арифмеE
тической разности температур и логарифмической разности (рис.2.2).  
 
Рис. 2.2. К задаче7.1 
8. 
Определяем  коэффициенты 
n
 
и 
C
 
и  форму  зависимости  вида 
Nu
=C
Re
n

11
21
1
1
2
ln Nu
ln Nu
9,35 6,99
1,03
lnRe
lnRe
6,76 6,46
n







, 
12
22
2
1
2
ln Nu
ln Nu
10,53 8,26
0,99
lnRe
lnRe
6,76 6,46
n







, 
11
1
1
1
Nu
1088,74
1,41
635,88
Re
n
C



,
 
22
2
2
2
Nu
37548,7
6,45
6358,8
Re
n
C



.
 
 
2.1.2. Контрольные задачи 
Задача 7.2.
 
По
 
трубке
 
диаметром
 d=16 
мм
 
и
 
длиной
 

=2,1 
м
 
течет
 
горячая
 
вода

отдающая
 
теплоту
 
через
 
стенку
 
трубы
 
среде

омывающей
 
трубку
 
снаружи

Расход
 
воды
 
через
 
трубку
  G=0,0091 
кг
/
с

температура
 
воды
 
на
 
входе
  t
=87,2
о
С

температура
 
воды
 
на
 
выходе
  t
 =29
о
С

средняя
 
темпе
E
ратура
 
стенки
 
трубки
 t
с
=15,3
о
С


45 
 
Вычислить
 
значения
 
критериев
 Nu, Re, Pe, 
приняв
 
в
 
качестве
 
опре
E
деляющей
 
температуры
 
среднеарифметическую
 
температуру
 
жидко
E
сти

Коэффициент
 
теплоотдачи
 
отнести
 
к
 
средней
 
арифметической
 
разности
 
температур
 
между
 
водой
 
и
 
стенкой


Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12


©netref.ru 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет