Полная группа событий. Условная вероятность. Формула умножения вероятностей. Формула сложения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Формула Бернулли. Предельные теоремы Теорема



Дата16.09.2020
өлшемі94.25 Kb.
Полная группа событий. Условная вероятность. Формула умножения вероятностей. Формула сложения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Формула Бернулли. Предельные теоремы

Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

или



Теорема. Сумма вероятностей событий полной группы равна единице:

.

Пример. Имеется 100 лотерейных билетов. Известно, что на 5 билетов попадает выигрыш по 20000 тенге., на 10 - по 15000 тенге, на 15 - по 10000 тенге., на 25 - по 2000 тенге. и на остальные ничего. Найти вероятность того, что на купленный билет будет получен выигрыш не менее 10000 тенге.

Решение. Пусть А, В, и С- события, состоящие в том, что на купленный билет падает выигрыш, равный соответственно 20000, 15000 и 10000 тенге. так как события А, В и С несовместны, то



.

Вероятность события , вычисленная при условии, что событие уже наступило, называется условной вероятностью события и обозначается .



Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие произошло:

.

Пример. Вычислить вероятность того, что в семье, где есть один ребенок- мальчик, родится второй мальчик.

Решение. Пусть событие А состоит в том, что в семье два мальчика, а событие В - что один мальчик.

Рассмотрим все возможные исходы: мальчик и мальчик; мальчик и девочка; девочка и мальчик; девочка и девочка.

Тогда , и по формуле находим



.

Событие А называется независимым от события В, если наступление события В не оказывает никакого влияния на вероятность наступления события А.



Теорема умножения вероятностей. Вероятность одновременного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

.

Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, вычисляется по формуле



.

Пример. В первой урне находится 6 черных и 4 белых шара, во второй- 5 черных и 7 белых шаров. Из каждой урны извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

Решение. Пусть - из первой урны извлечен белый шар; - из второй урны извлечен белый шар. Очевидно, что события и независимы.



Так как , , то по формуле находим

.

Формула полной вероятности.

Пусть событие может произойти только с одним из несовместных событий , образующих полную группу. .

Например, в магазин поступает одна и та же продукция от трех предприятий и в разном количестве. Вероятность выпуска некачественной продукции на этих предприятиях различна. Случайным образом отбирается одно из изделий. Требуется определить вероятность того, что это изделие некачественное (событие ). Здесь события – это выбор изделия из продукции соответствующего предприятия.

Используя теорему умножения вероятностей ,

находим


.

Полученная формула называется формулой полной вероятности.



Формула Байеса

Пусть событие происходит одновременно с одним из несовместных событий , вероятности которых () известны до опыта (вероятности априори). Производится опыт, в результате которого зарегистрировано появление события , причем известно, что это событие имело определенные условные вероятности (). Требуется найти вероятности событий если известно, что событие произошло (вероятности апостериори).

Задача состоит в том, что, имея новую информацию (событие A произошло), нужно переоценить вероятности событий . гипотезами

На основании теоремы о вероятности произведения двух событий

,

откуда


.

Полученная формула носит название формулы Байеса.



Серия повторных независимых испытаний, в каждом из которых данное событие имеет одну и ту же вероятность , не зависящую от номера испытания, называется схемой Бернулли. Таким образом, в схеме Бернулли для каждого испытания имеются только два исхода: событие (успех), вероятность которого и событие (неудача), вероятность которого .

Вероятность того, что событие наступит в испытаниях, определяется по формуле Бернулли



.

Пример. Вероятность поражения цели стрелком при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 10 выстрелах цель будет поражена 8 раз. Ответ

Теорема Пуассона.



Теорема: Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность того, что событие наступит раз, приближенно равна

,

где .
Теорема. Вероятность того, что в условиях схемы Бернулли событие при испытаниях появится точно раз, выражается приближенной формулой Лапласа



где .
Формулу Лапласа иногда называют асимптотической формулой, поскольку доказано, что относительная ошибка формулы Лапласа стремится к нулю при .
Теорема. Вероятность того, что событие появится в испытаниях от до раз, приближенно равна определенному интегралу

,

где ;

Достарыңызбен бөлісу:


©netref.ru 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет