Ю. Г. Евтушенко Доктор физ мат наук, профессор



Pdf көрінісі
бет1/24
Дата14.08.2020
өлшемі1.3 Mb.
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   24

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
 
Тверской государственный университет 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Е. А. Андреева, В. М. Цирулёва 
 
 
 
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ТВЕРЬ 2002 
 

УДК 519.711 
 
Рецензенты: 
Член-корреспондент РАН, профессор 
Ю. Г. Евтушенко 
Доктор физ.-мат. наук, профессор 
И. В. Пузынин 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Андреева Е. А., Цирулёва В. М. 
Вариационное  исчисление:  Учеб.  пособие. – Тверь:  Твер.  гос.ун-т, 
2002. – 260 с. 
 
 
 
Учебное  пособие  включает  в  себя  обязательный  минимум,  соот-
ветствующий министерской образовательной программе по специаль-
ности математика по разделу “Вариационное исчисление” фундамен-
тального курса “Вариационное исчисление и методы оптимизации” и 
учебно-методический  комплекс  по  всему  курсу.  Оно  стало  результа-
том  многолетней  работы  авторов  по  чтению  лекций  и  проведению 
практических  занятий  по  данному  курсу.  Подробное  теоретическое 
изложение  курса  содержит  доказательства  наиболее  важных  утвер-
ждений  и  теорем,  основные  теоремы  иллюстрируются  примерами,  в 
том  числе  практического  содержания,  решения  которых  подробно 
прокомментированы.  Приводится  большой  перечень  задач  для  само-
стоятельной работы и типичные варианты контрольных заданий. 
Учебное  пособие  предназначается  для  студентов  старших  курсов 
дневного и заочного отделений математического факультета, а также 
для  магистрантов,  аспирантов,  научных  работников  и  слушателей 
ФПК,  изучающих  дополнительные  главы  теории  экстремальных  за-
дач. 
 
УДК 519.711 
 
© Андреева Е. А., Цирулёва В. М. 
2002 

predislowie
pREDSTAWLENIE O TOM
,
^TO PRIRODA WO WSEH SWOIH PROQWLENIQH STRE
-
MITSQ K
"
\KONOMII
"
ILI OPTIMALXNOSTI
,
T
.
E
.
WYPOLNQET SWOI ZADA^I
W NEKOTOROM SMYSLE NAILU^IM IZ WSEH WOZMOVNYH SPOSOBOW
,
QWLQET
-
SQ ODNIM IZ PRINCIPOW TEORETI^ESKOJ NAUKI E]< SO WREMEN DREWNIH
GREKOW
,
KOTORYE SOZDALI NA \TOJ OSNOWE CELYE METAFIZI^ESKIE SISTE
-
MY
.
iDEI OPTIMALXNOSTI
,
A IMENNO \KSTREMALXNYE SWOJSTWA GEOMET
-
RI^ESKIH FIGUR
,
IZU^ALISX eWKLIDOM
,
aPOLONIEM
,
aRHIMEDOM
.
pO
-
TREBNOSTX REATX \KSTREMALXNYE ZADA^I SPOSOBSTWOWALO RAZWITI@
KLASSI^ESKOGO WARIACIONNOGO IS^ISLENIQ
,
W KOTOROM \KSTREMALXNYE
PRINCIPY ESTESTWOZNANIQ WYRAVENY S UDIWITELXNOJ KRASOTOJ
,
LAKO
-
NIZMOM
,
PROSTOTOJ I NOSQT UNIWERSALXNYJ HARAKTER
:"
pRIRODA PROS
-
TA I NE ROSKOESTWUET IZLINIMI PRI^INAMI WE]EJ
"(
i
.
nX@TON
).
mNOVESTWO PRIMEROW ISPOLXZOWANIQ \KSTREMALXNYH PRINCIPOW DAET
OPTIKA
,
MEHANIKA
,
FIZIKA
:"
iSTINNYJ PUTX SWETOWOGO LU^A OTLI^A
-
ETSQ OT WSEH WOZMOVNYH
,
MYSLIMYH PUTEJ TEM
,
^TO WREMQ DWIVETSQ
WDOLX NEGO MINIMALXNO
"{
IZWESTEN KAK PRINCIP fERMA
,
S POMO]X@
KOTOROGO MOVNO RASS^ITYWATX L@BU@ OPTI^ESKU@ SISTEMU
.
fIZIKA DAET MNOVESTWO PRIMEROW PRIMENENIQ PRINCIPA
,
NAIMENX
-
EGO DEJSTWIQ
,
KOTORYJ NAIBOLEE QRKO SFORMULIROWAL W
1744
GODU
p
.
mOPERTX@I
"
ISTINNOE DWIVENIE OTLI^AETSQ OT WSEH WOZMOVNYH
TEM
,
^TO DLQ NEGO WELI^INA DEJSTWIQ MINIMALXNA
".
zAKONY DWIVE
-
NIQ I POKOQ
,
WYWEDENNYE IZ \TOGO PRINCIPA QWLQ@TSQ TO^NO TEMI
,
KOTORYE NABL@DA@TSQ W PRIRODE
, "
DWIVENIQ VIWOTNYH
,
PROIZRASTA
-
NIE RASTENIJ
,
WRA]ENIE SWETIL QWLQ@TSQ TOLXKO EGO SLEDSTWIQMI
".
w
SWQZI S \TIM PRINCIPOM WOZNIKAET MIROWOZZREN^ESKIJ WOPROS O PRI
-
^INNO OBUSLOWLENNYH SOBYTIQH I SOBYTIQH NAPRAWLQEMYH WYSIM
RAZUMOM
.
oTKRYTIE \KSTREMALXNYH PRINCIPOW POKAZALO
,
^TO K ZAKONAM PRI
-
RODY MOVNO IDTI NE TOLXKO
"
SNIZU
"
PUTEM INDUKCII
,
OBOB]ENIQ FAK
-
TOW
,
NO I
"
SWERHU
" (
l
.
|JLER
)
PUTEM DEDUKCII
,
ISHODQ IZ \KSTREMALX
-
T
yp eset
b
y
A
M
S-T
E
X
3

NYH PRINCIPOW
.
pRI \TOM NEOBHODIMO NAJTI TU WELI^INU
,
KOTORU@
\KONOMIT PRIRODA W DANNOJ OBLASTI ESTESTWOZNANIQ
,
TO ESTX CELEWU@
FUNKCI@
.
~TO VE \KONOMIT PRIRODA
{
MATERIALY
,
\NERGI@
,
INFORMA
-
CI@ \NTROPI@
{
\TO PREDSTOIT IZU^ITX
.
w
1954
G
.
n
.
p
.
rAEWSKIJ
SFORMULIROWAL PRINCIP OPTIMALXNOJ KONSTRUKCII
:"
ORGANIZM IME
-
ET OPTIMALXNO WOZMOVNU@ KONSTRUKCI@ PO OTNOENI@ K \KONOMII
ISPOLXZUEMOGO MATERIALA I RASHODUEMOJ \NERGII
,
NEOBHODIMYH DLQ
WYPOLNENIQ ZADANNYH FUNKCIJ
".
nA OSNOWE \TOGO PRINCIPA UDALOSX
POLU^ITX CELYJ RQD KONKRETNYH REZULXTATOW
,
KASA@]IHSQ STROENIQ
KROWENOSNOJ SISTEMY ORGANIZMOW
,
FORMY TULOWI]A I DR
.
sOZDAWAQ U^EBNOE POSOBIE
,
AWTORY STAWILI PERED SOBOJ CELX SO
-
BRATX WOEDINO I SISTEMATI^ESKI IZLOVITX MATERIAL
,
WHODQ]IJ W
UNIWERSITETSKIJ KURS
"
wARIACIONNOE IS^ISLENIE I METODY OPTIMI
-
ZACII
".
pOSOBIE WKL@^AET W SEBQ OBQZATELXNYJ MINIMUM
,
SOOTWET
-
STWU@]IJ MINISTERSKOJ OBRAZOWATELXNOJ PROGRAMME PO SPECIALXNOS
-
TI MATEMATIKA PO KURSU
.
oNO SODERVIT NEOBHODIMYJ PERE^ENX
,
WHO
-
DQ]IJ W U^EBNO
-
METODI^ESKIJ KOMPLEKS PO DISCIPLINE
"
wARIACION
-
NOE IS^ISLENIE I METODY OPTIMIZACII
":
METODI^ESKIE REKOMENDA
-
CII PO IZU^ENI@ KURSA I PO WYPOLNENI@ PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ
,
PRO
-
GRAMMY ITOGOWYH \KZAMENOW PO DISCIPLINE DLQ DNEWNOGO I ZAO^NOGO
OTDELENIJ
,
METODI^ESKIE MATERIALY
,
OBESPE^IWA@]IE WOZMOVNOSTX
SAMOKONTROLQ I SISTEMATI^ESKOGO KONTROLQ PREPODAWATELEM REZULX
-
TATIWNOSTI IZU^ENIQ DISCIPLINY
,
SPISOK OSNOWNOJ I DOPOLNITELX
-
NOJ LITERATURY
.
pOSOBIE STALO REZULXTATOM MNOGOLETNEJ RABOTY
AWTOROW PO ^TENI@ LEKCIJ I PROWEDENI@ PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ PO
DANNOMU KURSU
.
pODROBNOE TEORETI^ESKOE IZLOVENIE KURSA SODERVIT DOKAZATELX
-
STWA NAIBOLEE WAVNYH UTWERVDENIJ I TEOREM
,
OSNOWNYE TEOREMY IL
-
L@STRIRU@TSQ PRIMERAMI
,
W TOM ^ISLE PRAKTI^ESKOGO SODERVANIQ
,
REENIQ KOTORYH PODROBNO PROKOMMENTIROWANY
.
pRIWODITSQ BOLX
-
OJ PERE^ENX ZADA^ DLQ SAMOSTOQTELXNOJ RABOTY I TIPI^NYE WARI
-
ANTY KONTROLXNYH ZADANIJ
.
pOSOBIE MOVET BYTX ISPOLXZOWANO STU
-
DENTAMI
3, 4, 5
KURSOW MATEMATI^ESKOGO FAKULXTETA DNEWNOGO OTDELE
-
NIQ I
6
KURSA ZAO^NOGO OTDELENIQ
,
A TAKVE SLUATELQMI fpk
,
ASPI
-
RANTAMI I MAGISTRAMI
,
IZU^A@]IMI DOPOLNITELXNYE GLAWY TEORII
\KSTREMALXNYH ZADA^
.
w POSOBII IZLAGA@TSQ OSNOWY WARIACIONNOGO IS^ISLENIQ
.
pRIWO
-
DQTSQ OSNOWNYE TIPY ZADA^
{
PROSTEJAQ ZADA^A
,
ZADA^A bOLXCA
,
IZO
-
PERIMETRI^ESKAQ ZADA^A
,
ZADA^A SO STARIMI PROIZWODNYMI I DRU
-
4

GIE
.
dLQ KAVDOGO TIPA ZADA^ SFORMULIROWANY I DOKAZANY NEOBHO
-
DIMYE USLOWIQ SLABOGO MINIMUMA |JLERA
{
lAGRANVA
.
pRIWODQTSQ
OPREDELENIE I NEOBHODIMYE USLOWIQ SILXNOGO LOKALXNOGO MINIMUMA
,
USLOWIE wEJERTRASSA
.
wWODITSQ PONQTIE WTOROJ WARIACII FUNKCIO
-
NALA
,
I FORMULIRU@TSQ USLOWIQ MINIMUMA W TERMINAH SOPRQVENNYH
TO^EK I POLEJ \KSTREMALEJ
.
oTDELXNYJ PARAGRAF POSWQ]EN IZLOVE
-
NI@ DOSTATO^NYH USLOWIJ OPTIMALXNOSTI W TERMINAH POLEJ \KSTRE
-
MALEJ I TEORII gAMILXTONA
{
qKOBI
.
w DANNOJ GLAWE IZLAGA@TSQ TAK
-
VE PRQMYE METODY WARIACIONNOGO IS^ISLENIQ
{
METOD rITCA I METOD
gALERKINA
.
wARIACIONNOE IS^ISLENIE WOZNIKLO W
XVII { XVIII
WW
.
KAK ^ASTX
ANALIZA
,
OB_EDINQ@]AQ KRUG WOPROSOW
,
SWQZANNYH S OTYSKANIEMFUNK
-
CIJ
,
LINIJ POWERHNOSTEJ
,
NA KOTORYH NEKOTORYJ OPREDELENNYJ INTEG
-
RAL DOSTIGAET SWOEGO NAIBOLXEGO ZNA^ENIQ
.
bLAGODARQ PREDSTAWLE
-
NIQM
,
GOSPODSTWOWAWIM SREDI MATEMATIKOW TOGO WREMENI
, a
TAKVE W
SILU SPECIFIKI PRILOVENIJ
,
SLUVIWIH PROBNYM KAMNEM DLQ SOZDA
-
WAEMOJ TEORII
(
ZADA^I O BRAHISTOHRONE
,
O DIFRAKCII SWETA
,
OB IZOPE
-
RIMETRAH
,
POZDNEE
|
PRINCIP NAIMENXEGO DEJSTWIQ
),
PREDSTAWLQ
-
LOSX SAMO SOBOJ RAZUME@]IMSQ
,
^TO MINIMUM DOSTIGAETSQ NA GLADKOJ
ILI KUSO^NO
-
GLADKOJ NEPRERYWNOJ LINII
,
ESLI TOLXKO NIVNQQ GRANX
FUNKCIONALA SU]ESTWUET
.
|TO UBEVDENIE PRODERVALOSX DO wEJERTRASSA I LEGLO W OSNOWU
METODA WARIACIJ lAGRANVA
|
|JLERA
,
SWODQ]EGO ZADA^U OB \KSTREMU
-
ME FUNKCIONALA K KRAEWOJ ZADA^E DLQ DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ
|JLERA
|
lAGRANVA I CELOJ GAMME NEOBHODIMYH I DOSTATO^NYH USLO
-
WIJ
.
pOSLE lAGRANVA ZNA^ITELXNYJ WKLAD W RAZWITIE \TOGO METODA
WNESLI lEVANDR
,
qKOBI
,
wEJERTRASS
,
gILXBERT
.
x1.
pROSTEJAQ ZADA^A WARIACIONNOGO IS^ISLENIQ
rASSMOTRIM PRIMERY KONKRETNYH ZADA^
,
SWODQ]IHSQ K ISSLEDOWA
-
NI@ FUNKCIONALA NA \KSTREMUM
1{5, 7{9].
oSNOWNAQ ZADA^A WARIACIONNOGO IS^ISLENIQ WOZNIKLA KAK NEPO
-
SREDSTWENNOE OBOB]ENIE POSTAWLENNOJ i
.
bERNULLI W
1696
G
.
ZADA^I
O BRAHISTOHRONE
.
zADA^A
O
BRAHISTOHRONE.
w WERTIKALXNOJ PLOSKOSTI ZADANY
DWE TO^KI
A
I
B,
RASPOLOVENNYE NA RAZNYH UROWNQH
.
tREBUETSQ SREDI GLADKIH KRIWYH
,
RASPOLOVENNYH W \TOJ PLOSKOS
-
TI I SOEDINQ@]IH DANNYE TO^KI
,
NAJTI TAKU@
,
DWIGAQSX PO KOTOROJ
5

POD DEJSTWIEM SILY TQVESTI
,
MATERIALXNAQ TO^KA
M
MASSY
m
PERE
-
JDET IZ POLOVENIQ
A
W POLOVENIE
B
ZA KRAT^AJEE WREMQ
.
nAJDENNAQ KRIWAQ BYLA NAZWANA BRAHISTOHRONOJ
(
OT GRE^
. brachistos
|
KRAT^AJIJ I
chronos |
WREMQ
).
pOMESTIM NA^ALO KOORDINAT W TO^KU
A
A OSX
y
NAPRAWIM WNIZ
.
pO ZAKONU SOHRANENIQ \NERGII SUMMY POTENCIALXNOJ I KINETI^ESKOJ
\NERGII W TO^KE
A
I L@BOJ TO^KE
(
xy
)
NA KRIWOJ RAWNY MEVDU SOBOJ
:
0 + 0 =
;
mgy
+
mv
2
2

PO\TOMU
v
=
p
2
gy:
kROME TOGO
,
IZWESTNO
,
^TO SKOROSTX DWIVENIQ TO^
-
KI WYRAVAETSQ RAWENSTWOM
v
=
dS
dt

A
dS
=
p
dx
2
+
dy
2
=
p
1 +
y
2
x
dx:
iSPOLXZUQ DANNYE SOOTNOENIQ
,
POLU^AEM
:
dt
=
dS
v
=
dS
p
2
gy
=
p
1 +
y
2
x
p
2
gy dx:
dALEE
,
ESLI KOORDINATY TO^EK
A
(0

0)
I
B
(
x
0
y
0
),
TO
,
INTEGRIRUQ
POSLEDNEE SOOTNOENIE
,
NAJDEM WREMQ SPUSKA
t
=
x
0
Z
0
s
1 +
y
2
x
2
gy dx:
(1.1)
zADA^A O BRAHISTOHRONE SWELASX K POISKU TAKOJ GLADKOJ KRIWOJ
y
=
y
(
x
)
 x
2
0
x
0
]

KOTORAQ PRINIMAET ZADANNYE ZNA^ENIQ NA KONCAH
OTREZKA
0
x
0
] :
y
(0) = 0
 y
(
x
0
) =
y
0
I DOSTAWLQET MINIMUM FUNKCIO
-
NALU
(1.1).
rEENIE ZADA^I PRIWEDENO W PRIMERE
6.4 (
x
6).
zADA^A
O
NAIMENXEJ
POWERHNOSTI
WRA]ENIQ.
sREDI KRI
-
WYH
,
PROHODQ]IH ^EREZ DWE ZADANNYE TO^KI
A
(
x
0
y
0
)
I
B
(
x
2
y
2
),
NAJ
-
TI TAKU@
,
DLQ KOTOROJ PLO]ADX POWERHNOSTI WRA]ENIQ DUGI
AB
QW
-
LQETSQ NAIMENXEJ PO SRAWNENI@ S PLO]ADX@ POWERHNOSTI WRA]ENIQ
DUGI L@BOJ DRUGOJ KRIWOJ
,
PROHODQ]EJ ^EREZ DANNYE TO^KI
.
pLO]ADX POWERHNOSTI TELA WRA]ENIQ WYRAVAETSQ
,
KAK IZWESTNO
,
RAWENSTWOM
P
= 2

x
2
Z
x
1
y
p
1 +
y
2
x
dx:
(1.2)
6

oTS@DA SLEDUET
,
^TO POSTAWLENNAQ ZADA^A SWODITSQ K OPREDELENI@
TAKOJ FUNKCII
y
=
y
(
x
)

DLQ KOTOROJ WELI^INA
P
WYRAVAEMAQ FUNK
-
CIONALOM
(1.2),
PRINIMAET MINIMALXNOE ZNA^ENIE PRI USLOWII
,
^TO
y
(
x
1
) =
y
1
I
y
(
x
2
) =
y
2
:
rEENIE ZADA^I PRIWEDENO W PRIMERE
1.5.
pUSTX FUNKCIQ
L
(
txy
)
OPREDELENA NA MNOVESTWE

t
0
t
1
]

R
n

R
n
,
DWAVDY NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMA PO SOWOKUPNOSTI ARGUMENTOW
.
pUSTX
x
(
t
) |
NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMAQ FUNKCIQ NA OTREZKE

t
0
t
1
],
UDOWLETWORQ@]AQ USLOWIQM
x
(
t
0
) =
x
0
 x
(
t
1
) =
x
1
:
(1.3)
wY^ISLIM INTEGRAL
t
1
R
t
0
L
(
tx
(
t
)

_
x
(
t
))
dt
I OBOZNA^IM EGO ^EREZ
J
(
x
(

)),
T
.
E
.
J
(
x
(

)) =
t
1
Z
t
0
L
(
tx
(
t
)

_
x
(
t
))
dt:
(1.4)
fUNKCIONAL
(1.4)
W SILU SDELANNYH PREDPOLOVENIJ OTNOSITELX
-
NO FUNKCIJ
L
(
txy
),
x
(
t
)
NEPRERYWNO
-
DIFFERENCIRUEM NA OTREZKE

t
0
t
1
] =
I
.
pOSTANOWKA ZADA^I
.
zADA^A KLASSI^ESKOGO WARIACIONNOGO IS^ISLENIQ SOSTOIT W OPREDE
-
LENII MINIMUMA FUNKCIONALA
(1.4)
NA MNOVESTWE NEPRERYWNO DIFFE
-
RENCIRUEMYH FUNKCIJ
,
UDOWLETWORQ@]IH GRANI^NYM USLOWIQM
(1.3).
oPREDELENIE
1.1.
fUNKCIQ
x
(
t
)
!
R
NAZYWAETSQ DOPUSTIMOJ
,
ES
-
LI ONA NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMA NA
I
I UDOWLETWORQET GRANI^
-
NYM USLOWIQM
(1.3).
oPREDELENIE
1.2.
dOPUSTIMAQ FUNKCIQ
x
(
t
)
NAZYWAETSQ SLABYM
LOKALXNYM MINIMUMOM ZADA^I
(1.3) { (1.4) (
MINIMALX@
),
ESLI SU
-
]ESTWUET POLOVITELXNOE
" >
0,
TAKOE
,
^TO DLQ L@BOJ DOPUSTIMOJ
FUNKCII
x
(
t
),
UDOWLETWORQ@]EJ USLOWI@
k
x
(
t
)
;
x
(
t
)
k
C
0
6
"
,
SPRA
-
WEDLIWO NERAWENSTWO
J
(
x
)
6
J
(
x
).
zDESX NORMA W PROSTRANSTWE
C
0
OPREDELQETSQ WYRAVENIEM
k
x
(
t
)
;
x
(
t
)
k
C
0
= max
t
2
I
j
x
(
t
)
;
x
(
t
)
j
+ max
t
2
I
j
_
x
(
t
)
;
_
x
(
t
)
j
:
7

wARIACIQ FUNKCIONALA
.
oPREDELENIE
1.3.
pUSTX

x
= 
x
(
t
)
 t
2

t
0
t
1
] |
DOPUSTIMAQ KRI
-
WAQ OSNOWNOJ ZADA^I WARIACIONNOGO IS^ISLENIQ
.
fUNKCI@
x
(
t
)
 t
2

t
0
t
1
]
NAZYWA@T
(
DOPUSTIMOJ
)
WARIACIEJ KRIWOJ

x
(

)

ESLI FUNKCIQ
x
(
t
) = 
x
(
t
) +
x
(
t
)
WNOWX QWLQETSQ DOPUSTIMOJ KRIWOJ
2].
pRI ISSLEDOWANII SLABYH MINIMALEJ UDOBNO WARIACI@ KRIWOJ

x
(

)
RASSMATRIWATX W WIDE
x
(
t
) =
h
(
t
)
 t
2

t
0
t
1
]

GDE

|
WE]ESTWENNOE
^ISLO
.
fUNKCI@
h
(
t
)
TOVE ^ASTO NAZYWA@T WARIACIEJ
.
w GEOMET
-
RI^ESKOM SMYSLE FUNKCIQ
h
(
t
)
 t
2

t
0
t
1
]

IGRAET ROLX NAPRAWLENIQ
DWIVENIQ W FUNKCIONALXNOM PROSTRANTWE
,
A ^ISLO

|
ROLX AGA
WDOLX \TOGO NAPRAWLENIQ
.
oPREDELENIE
1.4.
pUSTX
J
(
x
(

)) |
FUNKCIONAL
,
OPREDELENNYJ
NA DOPUSTIMYH KRIWYH
.
eSLI PRI FIKSIROWANNOJ DOPUSTIMOJ KRIWOJ

x
(

)
I WARIACII
h
(

)
ON DOPUSKAET RAZLOVENIE
J
(
x
(

) +
h
(

))
;
J
(
x
(

)) =
J
(
x
(

)
h
(

)) +

2

2
J
(
x
(

)
h
(

))
=
2 +
o
(

2
)

(1.5)
TO KO\FFICIENT
J
(
x
(

)
h
(

))
PRI PERWOJ STEPENI PARAMETRA

NAZY
-
WAETSQ PERWOJ WARIACIEJ FUNKCIONALA
J
NA KRIWOJ

x
(

)
I WARIACII
h
(

)
:
kO\FFICIENT

2
J
(
x
(

)
h
(

))
PRI

2
=
2
W RAZLOVENII
(1.5)
NAZY
-
WA@T WTOROJ WARIACIEJ FUNKCIONALA
J
(
x
(

))
:
iZ
(1.5)
SLEDU@T PROSTYE PRAWILA WY^ISLENIQ WARIACIJ FUNKCI
-
ONALA
:
J
(
x
(

)
h
(

)) =
d
dJ
(
x
(

) +
h
(

))



=0


2
J
(
x
(

)
h
(

)) =
d
2
d
2
J
(
x
(

) +
h
(

))



=0
:
uRAWNENIE |JLERA
.
tEOREMA
1.1.
dLQ TOGO ^TOBY DOPUSTIMAQ FUNKCIQ
x
(
t
)
DOSTAW
-
LQLA SLABYJ LOKALXNYJ MINIMUM FUNKCIONALU
(1.4),
NEOBHODIMO
,
^TO
-
BY \TA FUNKCIQ UDOWLETWORQLA URAWNENI@ |JLERA
:
L
x
(
t
)
;
d
dtL
_
x
(
t
) = 0

(1.6)
GDE
L
x
(
t
) =
L
x
(
tx
(
t
)
x
(
t
)

_
x
(
t
))

L
_
x
(
t
) =
L
_
x
(
tx
(
t
)
x
(
t
)

_
x
(
t
))
:
8

oPREDELENIE
1.5.
fUNKCIQ
x
(
t
),
UDOWLETWORQ@]AQ URAWNENI@
(1.6),
NAZYWAETSQ \KSTREMALX@ FUNKCIONALA
(1.4).
dOKAZATELXSTWO TEOREMY
1.1
OPIRAETSQ NA OSNOWNU@ LEMMU WARIA
-
CIONNOGO IS^ISLENIQ
.
lEMMA
1.1
lAGRANVA
(OSNOWNAQ
LEMMA
KLASSI^ESKOGO
WA-
RIACIONNOGO
IS^ISLENIQ).
pUSTX
b
(
t
)
2
C
(
I
)
|
NEKOTORAQ NEPRERYWNAQ NA OTREZKE
I
=

t
0
t
1
]
FUNKCIQ
,
TAKAQ
,
^TO DLQ L@BOJ FUNKCII
h
(
t
)
2
C
1
(
I
)
WY
-
POLNENO INTEGRALXNOE SOOTNOENIE
t
1
R
t
0
b
(
t
)
h
(
t
)
dt
= 0
.
tOGDA
b
(
t
)

0
,
t
2
I
.
dOKAZATELXSTWO
(OT
PROTIWNOGO).
pUSTX
b
6
= 0.
tOGDA NAJ
-
DETSQ TAKAQ TO^KA
2

t
0
t
1
],
^TO
b
(
)
6
= 0.
pUSTX DLQ OPREDELENNOS
-
TI
b
(
)
>
0.
w SILU NEPRERYWNOSTI
b
(
t
)
NAJDETSQ DOSTATO^NO MALAQ
OKRESTNOSTX
I
1
TO^KI
:
j
t
;
j


Достарыңызбен бөлісу:
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   24


©netref.ru 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет